Das Haar-Maß auf lokalkompakten topologischen Gruppen

Zusammenfassung

In den Überlegungen der Kapitel I und II spielen die Gruppenalgebren L¹(T ⁿ) und L¹(R ⁿ) eine wichtige Rolle. Die multiplikative Verknüpfung dieser kommutativen komplexen Banach-Algebren ist die Faltung, deren Eigenschaften — darauf wurde mehrfach hingewiesen — eng mit der Translationsinvarianz der Maße dx auf Tⁿ bzw. $\frac{1}{{{{\left( {2\pi } \right)}^{n/2}}}}dx$ dx auf R ⁿ verknüpft sind. Da T ⁿ und R ⁿ (additive abelsche) lokalkompakte topologische Gruppen sind, stellt sich die Frage, ob auf jeder derartigen Gruppe G translationsinvariante Radon-Maße existieren. Daß diese Frage sogar für alle (nicht notwendig abelschen) lokalkompakten topologischen Gruppen bejaht werden kann, hat nicht nur für die harmonische Analyse weitreichende Konsequenzen. Erwähnt seien an dieser Stelle lediglich die Zahlentheorie und die Integralgeometrie, für die translationsinvariante Radon-Maße ebenfalls wichtige Hilfsmittel darstellen.