Advertisement

Verfahren zur Lösung des Grundproblems

  • Birgit Schildt
Chapter
  • 85 Downloads

Zusammenfassung

Problemstellungen der diskreten Standortoptimierung bei linearen Produktions- und Transportkosten sind seit Beginn der 60er Jahre Gegenstand zahlreicher Untersuchungen und Publikationen. Diese umfassen neben einer Reihe unterschiedlichster Modellformulierungen eine nahezu unüberschaubare Vielzahl und Vielfalt von Verfahren, die zum Teil auch zur Lösung großer Probleminstanzen geeignet sind.1

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. 1.
    Eine diesbezügliche Übersicht bieten Comuejols et al. (1990) sowie Comuejols et al. (1991).Google Scholar
  2. 4.
    Zu Heuristiken allgemein vgl. Streim (1975), Witte (1979), Milller-Merbach (1981), Pearl (1984) sowie Zanalds et al. (1989).Google Scholar
  3. 12.
    Es handelt sich um eine ganze Klasse von speziellen Verfahren der sukzessiven Approximation, die vor allem zur Lösung konvexer Optimierungsprobleme Verwendung finden; vgl. Horst und Tuy (1993, S. 219ff.).Google Scholar
  4. 13.
    Deren Verfahren MAP (Method of Approximation Programming) stellt eine Verallgemeinerung des Verfahrens von Frank und Wolfe (1956) auf beliebige nichtlineare Optimierungsprobleme dar; sowohl Zielfunktion als auch Nebenbedingungen werden linear approximiert. Vgl. dazu auch Bradley et al. (1977, S. 583).Google Scholar
  5. 14.
    Palacios-Gomez et al. (1982) zeigen die Konvergenz ihres Verfahrens SLPR fir lineare Nebenbedingungen.Google Scholar
  6. 15.
    Zhang et al. (1985) erweitem und modifizieren die Vorgehensweise von Palacios-Gomez et al. (1982) zu einem Verfahren PSLP (Penalty SLP), wobei sie auch für beliebige Nebenbedingungen Konvergenz nachweisen.Google Scholar
  7. 16.
    Baker und Lasdon (1985) berichten iber den erfolgreichen Einsatz einer vereinfachten Version von PSLP zur Lösung großer praktischer Probleme in der petrochemischen Industrie.Google Scholar
  8. 22.
    Die Lösung von PDP erfolgt analog durch Approximation der f.Google Scholar
  9. 30.
    Im hier betrachteten Falle der Minimierung einer konkaven Zielfunktion kann auf die sonst erforderliche zusätzliche eindimensionale Suche zwischen x0 und x1 zur Ermittlung der nächsten Iterationslösung verzichtet werden, da diese ihr Minimum stets auf dem Rande des zulässigen Bereichs annimmt; vgL Holloway (1974).Google Scholar
  10. 31.
    “Zigzagging often retards convergence”; vgl. Zangwill (1969).Google Scholar
  11. 32.
    Diaby (1991) beschreibt eine ähnliche Vorgehensweise zur Lösung von Fixkosten-Transportproblemen. LeBlanc und Cooper (1974) geben ein ähnliches Verfahren zur Lösung von unkapazitierten PDP bei konvexen Betriebskosten an.Google Scholar
  12. 36.
    Die Vorgehensweise entspricht der von Drysdale und Sandiford (1969), wobei diese nur die Auswirkungen paarweiser Vergleiche von Standorten bzgl. der Reallokation von Nachfragem prüfen.Google Scholar
  13. 39.
    Dies entspricht einer sukzessiven Fixierung der Binärvariablen in der Formulierung NLWLP. Die Vervollständigung der Lösung ergibt sich als Lösung eines Problems der konkaven Programmierung; siehe S. 60, 61.Google Scholar
  14. 47.
    Die seltenen Anwendungen moderner Suchverfahren im Zusammenhang mit betrieblichen Standortplanungsproblemen beschränken sich auf die Untersuchung einiger unkapazitierter Probleme mit linearen Kosten (p - Median Probleme und Steinerprobleme in Graphen); vgl. Hosage und Goodchild (1986) sowie Reeves (1993a).Google Scholar
  15. 49.
    Als Partition einer Menge bezeichnet man eine disjunkte Zerlegung in Teilmengen so, daß die Vereinigung aller dieser Teilmengen die Menge selbst liefert. Jedes Element der Menge ist somit in genau einer Teilmenge enthalten.Google Scholar
  16. 59.
    Die Mengen umfassen genau genommen nicht die potentiellen Standorte, sondern vielmehr die mit den Standorten korrespondierenden Indizes; vgl. zu dieser Schreibweise auch Kapitel 3.2.1.4.Google Scholar
  17. 56.
    Die theoretische Fundierung des SA basiert auf einer formalen Abbildung der Vorgehensweise durch Markov-Ketten, mit Hilfe derer sich entsprechende theoretische Ergebnisse und geeignete Parameterkonstellationen herleiten lassen; u.a. kann die asymptotische Konvergenz des Verfahrens zu einem globalen Optimum gezeigt werden; vgl. Aarts und Korst (1989) sowie Dekkers und Aarts (1991).Google Scholar
  18. 57.
    Kirkpatrick et al. (1982) geben einen Wert von 0.8 als ein geeignetes anfängliches Akzeptanzverhältnis an.Google Scholar
  19. 58.
    Die Festlegung der Temperaturstufenlängen korrespondiert mit der Bestimmung der Länge von Markovketten und ist daher äußerst komplex.Google Scholar
  20. 59.
    Überprüft wird eine Teilmenge mit maximal AnzNachbarn Elementen, denn y kann unter Umständen weniger als AnzNachbarn zulässige Nachbarn besitzen.Google Scholar
  21. 62.
    Man kann zeigen, vgl. Glover (1990) und Voß (1993), daß die Anwendung von REM eine notwendige und hinreichende Bedingung zur Verhinderung von Mehrfachbesuchen einer Lösung darstellt.Google Scholar
  22. 63.
    Wie bei der REM soll so die erneute Berücksichtigung bereits besuchter Lösungen vermieden werden.Google Scholar
  23. 64.
    Im Gegensatz zu der bei der REM verwendeten RCS wird die ATL nicht nur temporär geführt, sondern während des ganzen Verfahrens aufrechterhalten und in jeder Iteration fortführend aktualisiert.Google Scholar
  24. 67.
    Wie schon beim Simulated Annealing handelt es sich auch hier um eine naturanaloge Metastrategie, die in vielfältiger Ausprägung zur Lösung zahlreicher Optimierungsprobleme mit kombinatorischem Charakter Verwendung finden kann.Google Scholar
  25. 68.
    GA wurden ursprünglich von John Holland, vgl. Holland (1975), entwickelt; auf ihn geht auch die Theorie zu GA zurück. Eine umfassende Einführung über Genetische Algorithmen bietet v.a. Goldberg (1989). Eine Abgrenzung der GA zu ähnlich konzipierten Evolutionsstrategien fmdet man beispielsweise in Hoffmeister und Bäck (1991).Google Scholar
  26. 69.
    Abstrahierend kann die Evolution als sich wiederholender, 2-stufiger Prozeß interpretiert werden, der zum einen aus der Erzeugung einer Population zufälliger Variationen (Individuen) und zum anderen in der Aussonderung unvorteilhafter Variationen durch natürliche Auslese (“Survival of the Fittest” nach Darwin) besteht.Google Scholar
  27. 70.
    Im biologischen Variablenraum sind alle relevanten Informationen auf Chromosomen kodiert. Diese bestehen aus einer Reihe linear angeordneter Gene. Ein Gen enthält dabei jegliche benötigte Information für spezifisch geformte Makromoleküle; die Reihenfolge bestimmt Form und Eigenschaften (vgl. Rechenberg (1973)).Google Scholar
  28. 71.
    Die Betrachtung von gemäß (4.9) unzulässigen Lösungen als Individuen wird hier ausgeschlossen; eine Bewertung solcher Individuen kann jedoch prinzipiell mit Hilfe von proportional zur jeweils vorliegenden Restriktionsverletzung verrechneten Strafkosten erfolgen.Google Scholar
  29. 72.
    Die Reproduktion besteht in einer Erzeugung von identischen Kopien einzelner Strings. Das Kopieren der Strings in Abhängigkeit von deren relativer Fitness bedeutet, daß Strings mit einer größeren Fitness mit höherer Wahrscheinlichkeit einen oder mehrere Nachkommen für die nächste Generation beitragen als Strings mit niedrigerer Fitness. Der Selektionsoperator ist damit eine künstliche Variante der natürlichen Selektion nach dem Darwinschen Überlebensprinzip.Google Scholar
  30. 73.
    Die Literatur beschreibt eine Reihe von alternativen Vorgehensweisen zur Generierung des Genpools (vgl. Baker (1985)), die sich hier jedoch in ersten numerischen Untersuchungen nicht als überlegen erwiesen haben und daher nicht näher geschildert werden sollen.Google Scholar
  31. 74.
    Bei einer binären Kodierung können alle Stringpositionen jeweils lediglich die Werte 0 oder 1 annehmen.Google Scholar
  32. 75.
    Komplexere Formen des Crossover, wie beispielsweise Mehrpunkt-Crossover, Crossover-Inversion oder die Einbeziehung von Varianten dominant-rezessiver Vererbung sind möglich, haben sich hier jedoch nicht als dem einfachen 1-Punkt-Crossover überlegen erwiesen. Vgl. dazu auch DeJong und Spears (1992) sowie Liepins und Vose (1992).Google Scholar
  33. 76.
    Mutation ist kein primärer GA-Operator. Eine Anwendung ist jedoch empfehlenswert, da dadurch eine vorzeitige Spezialisierung der Individuen und der vorschnelle Verlust wichtiger Informationen in einer Population (d.h. eine Konzentration des Suchprozesses im Bereich eines lokalen Optimums) vermieden wird. Zudem können durch Mutation Lösungen entstehen, die in der Ausgangspopulation nicht vorhandene Informationen enthalten.Google Scholar
  34. 77.
    Ober einen erfolgreichen Einsatz Genetischer Algorithmen zur Lösung spezieller Problemklassen berichten beispielsweise Domdorf und Pesch (1992), Kopfer (1992) sowie Thiel und VoB (1992).Google Scholar
  35. 81.
    Vgl. dazu z.B. Minoux (1986), Ibarald (1987) oder Domschke und Drexl (1991).Google Scholar
  36. 82.
    Ein B&B- Verfahren läßt sich als ein spezielles Entscheidungsbaumverfahren mit einer begrenzten, unvollständigen Enumeration charakterisieren. Vgl. zu diesen Begriffen Ibaraid (1987).Google Scholar
  37. 88.
    Eine primale Vorgehensweise ist dadurch gekennzeichnet, daß stets primal zulässige Lösungen vorliegen. Entsprechend arbeiten duale Konzepte mit dual zulässigen Lösungen.Google Scholar
  38. 89.
    Soland (1974) betrachtet kapazitierte sowie unkapazitierte Warehouse Location Probleme bei nichtkonvexem Verlauf von Transport-und Produktionskosten.Google Scholar
  39. 91.
    Zur Definition dieser Begriffe und zur Existenz der Funktionale siehe Anhang sowie Horst (1979, S. 282f.) und Horst (1990).Google Scholar
  40. 93.
    Definitionsgemäß, vgl. Definition A.12, handelt es sich bei einem konvexen Hüllfunktional um das “beste” konvexe Subfunktional und damit um die beste konvexe Funktion, die zu einer Approximation von unten herangezogen werden kann.Google Scholar
  41. 94.
    Es handelt sich hier vor allem um Problemstellungen der linearen, konvexen und (gemischt-) ganzzahligen linearen Optimierung.Google Scholar
  42. 96.
    Jedoch gilt hier i.a. das “Gesetz von der Erhaltung der Arbeit”: Schärfere Schranken sind in der Regel mit einem höheren Rechenaufwand bei der Lösung des relaxierten Problems verbundenGoogle Scholar
  43. 97.
    Wurden in P Ungleichheitsrestriktionen relaxiert, so sind im Lagrange-Dualen Problem Nichtnegativitätsbedingungen hinsichtlich der Lagrange-Multiplikatoren a zu berücksichtigen.Google Scholar
  44. 98.
    Eine umfassende diesbeziigliche Darstellung fmdet sich in Geoffrion (1971).Google Scholar
  45. 99.
    Eine ähnliche Vorgehensweise verwenden Kubo und Kasugai (1991) im Rahmen ihrer Heuristik (Ermittlung oberer und unterer Schranken) zur Lösung von PDP mit nichtlinearen Transportkosten.Google Scholar
  46. 100.
    Siehe beispielsweise Geoffrion (1974), Fisher et al. (1975), Shapiro (1979) und Fisher (1981).Google Scholar
  47. 101.
    Alternative Vorgehensweisen zur Lösung des dualen Problems sind Anstiegsverfahren (Lagrangean Dual Ascent-bzw. Multiplier-adjustment-Methoden) sowie Verfahren der âuBeren linearen Approximation (Schnitt-ebenenverfahren); vgl. Bazaraa und Shetty (1979).Google Scholar
  48. 102.
    Zur Definition eines Subgradienten in Verallgemeinerung des Gradientenbegriffs für differenzierbare Funktionen siehe Anhang.Google Scholar
  49. 105.
    Alternativ können auch die im letzten Transportproblem des Verfahrens KK ermittelten Dualvariablen herangezogen werden. Analog kann eine solche Initialisierung auch bei Verwendung der Heuristiken SMA oder SAA durchgeführt werden.Google Scholar
  50. 107.
    Die Verwendung einer ähnlichen Surrogate-Constraint hat sich auch bei der Lösung kapazitierter WLP bewährt; vgl. Comuejols et al. (1991).Google Scholar
  51. 111.
    Andere Ansätze zur Bestimmung verbesserter Schranken auf Basis von Lagrange-Dualität sind schrankenverbessemde Folgen (bound improving sequences, vgl. Barcia (1985)) sowie deren Kombination mit Lagrange-Dekomposition; vgl. Barcia und Jömsten (1990).Google Scholar
  52. 122.
    Zur Struktur dieser Minimax-Probleme vgl. Magnanti und Wong (1990).Google Scholar
  53. 125.
    Diese Beziehung stellt den Zusammenhang zwischen Cross Dekomposition einerseits und rein primaler bzw. rein dualer Dekomposition andererseits her; vgl. Lee (1993) sowie Holmberg (1990).Google Scholar
  54. 128.
    Zur theoretischen Fundierung dieses Sonderfalls siehe Holmberg (1990, S. 274).Google Scholar
  55. 130.
    Mehrfach ermittelte primal zulâssige Lösungen erzeugen identische und somit redundante Nebenbedingungen. 131 Zur Konzeption und möglichen Ausgestaltung solcher Tests vgl. van Roy (1983,1986)Google Scholar
  56. 136.
    Eine solche Vorgehensweise zur Lösung des Grundproblems gilt als klassischer Lösungsansatz der separablen Programmierung und wird dort als konkave polyhedrale Unterschätzung (Concave Polyhedral Underestimation) bezeichnet; vgl. Horst und Tuy (1993, S. 260).Google Scholar
  57. 139.
    Kamesam und Meyer (1984) stellen fur den Fall separabler, konvexer Programmierung iterative Methoden der stückweise linearen Approximation auf Basis fester Teilungen (feste Anzahl Stützstellen je Variable) sogenannten Strategien “impliziter Teilungen” (Generierung von Stützstellen wie benötigt) gegenüber.Google Scholar
  58. 140.
    Im Rahmen von Mehrgüterproblemen wird die Bezeichnung “choice of facility type” zum Teil auch in einem anderen Zusammenhang verwendet; vgl. Lee (1991, 1993). Ein Standorttyp korrespondiert dort mit einer unterschiedlichen Ausstattung bzgl. verschiedener Produkte und den damit verbundenen gemeinsamen, produktübergreifenden Fixkosten.Google Scholar
  59. 141.
    Drysdale and Sandiford (1969) äußerten 1969, daß “at present this approach is not attractive because of the computational cost associated with such large integer programs and the unsatisfactory performance of the existing codes”.Google Scholar

Copyright information

© Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden 1994

Authors and Affiliations

  • Birgit Schildt

There are no affiliations available

Personalised recommendations