Verfahren zur Lösung des Grundproblems

Eine diesbezügliche Übersicht bieten Comuejols et al. (1990) sowie Comuejols et al. (1991).Google Scholar

Zu Heuristiken allgemein vgl. Streim (1975), Witte (1979), Milller-Merbach (1981), Pearl (1984) sowie Zanalds et al. (1989).Google Scholar

Es handelt sich um eine ganze Klasse von speziellen Verfahren der sukzessiven Approximation, die vor allem zur Lösung konvexer Optimierungsprobleme Verwendung finden; vgl. Horst und Tuy (1993, S. 219ff.).Google Scholar

Deren Verfahren MAP (Method of Approximation Programming) stellt eine Verallgemeinerung des Verfahrens von Frank und Wolfe (1956) auf beliebige nichtlineare Optimierungsprobleme dar; sowohl Zielfunktion als auch Nebenbedingungen werden linear approximiert. Vgl. dazu auch Bradley et al. (1977, S. 583).Google Scholar

Palacios-Gomez et al. (1982) zeigen die Konvergenz ihres Verfahrens SLPR fir lineare Nebenbedingungen.Google Scholar

Zhang et al. (1985) erweitem und modifizieren die Vorgehensweise von Palacios-Gomez et al. (1982) zu einem Verfahren PSLP (Penalty SLP), wobei sie auch für beliebige Nebenbedingungen Konvergenz nachweisen.Google Scholar

Baker und Lasdon (1985) berichten iber den erfolgreichen Einsatz einer vereinfachten Version von PSLP zur Lösung großer praktischer Probleme in der petrochemischen Industrie.Google Scholar

Die Lösung von PDP erfolgt analog durch Approximation der f.Google Scholar

Im hier betrachteten Falle der Minimierung einer konkaven Zielfunktion kann auf die sonst erforderliche zusätzliche eindimensionale Suche zwischen x0 und x1 zur Ermittlung der nächsten Iterationslösung verzichtet werden, da diese ihr Minimum stets auf dem Rande des zulässigen Bereichs annimmt; vgL Holloway (1974).Google Scholar

“Zigzagging often retards convergence”; vgl. Zangwill (1969).Google Scholar

Diaby (1991) beschreibt eine ähnliche Vorgehensweise zur Lösung von Fixkosten-Transportproblemen. LeBlanc und Cooper (1974) geben ein ähnliches Verfahren zur Lösung von unkapazitierten PDP bei konvexen Betriebskosten an.Google Scholar

Die Vorgehensweise entspricht der von Drysdale und Sandiford (1969), wobei diese nur die Auswirkungen paarweiser Vergleiche von Standorten bzgl. der Reallokation von Nachfragem prüfen.Google Scholar

Dies entspricht einer sukzessiven Fixierung der Binärvariablen in der Formulierung NLWLP. Die Vervollständigung der Lösung ergibt sich als Lösung eines Problems der konkaven Programmierung; siehe S. 60, 61.Google Scholar

Die seltenen Anwendungen moderner Suchverfahren im Zusammenhang mit betrieblichen Standortplanungsproblemen beschränken sich auf die Untersuchung einiger unkapazitierter Probleme mit linearen Kosten (p - Median Probleme und Steinerprobleme in Graphen); vgl. Hosage und Goodchild (1986) sowie Reeves (1993a).Google Scholar

Als Partition einer Menge bezeichnet man eine disjunkte Zerlegung in Teilmengen so, daß die Vereinigung aller dieser Teilmengen die Menge selbst liefert. Jedes Element der Menge ist somit in genau einer Teilmenge enthalten.Google Scholar

Die Mengen umfassen genau genommen nicht die potentiellen Standorte, sondern vielmehr die mit den Standorten korrespondierenden Indizes; vgl. zu dieser Schreibweise auch Kapitel 3.2.1.4.Google Scholar

Die theoretische Fundierung des SA basiert auf einer formalen Abbildung der Vorgehensweise durch Markov-Ketten, mit Hilfe derer sich entsprechende theoretische Ergebnisse und geeignete Parameterkonstellationen herleiten lassen; u.a. kann die asymptotische Konvergenz des Verfahrens zu einem globalen Optimum gezeigt werden; vgl. Aarts und Korst (1989) sowie Dekkers und Aarts (1991).Google Scholar

Kirkpatrick et al. (1982) geben einen Wert von 0.8 als ein geeignetes anfängliches Akzeptanzverhältnis an.Google Scholar

Die Festlegung der Temperaturstufenlängen korrespondiert mit der Bestimmung der Länge von Markovketten und ist daher äußerst komplex.Google Scholar

Überprüft wird eine Teilmenge mit maximal AnzNachbarn Elementen, denn y kann unter Umständen weniger als AnzNachbarn zulässige Nachbarn besitzen.Google Scholar

Man kann zeigen, vgl. Glover (1990) und Voß (1993), daß die Anwendung von REM eine notwendige und hinreichende Bedingung zur Verhinderung von Mehrfachbesuchen einer Lösung darstellt.Google Scholar

Wie bei der REM soll so die erneute Berücksichtigung bereits besuchter Lösungen vermieden werden.Google Scholar

Im Gegensatz zu der bei der REM verwendeten RCS wird die ATL nicht nur temporär geführt, sondern während des ganzen Verfahrens aufrechterhalten und in jeder Iteration fortführend aktualisiert.Google Scholar

Wie schon beim Simulated Annealing handelt es sich auch hier um eine naturanaloge Metastrategie, die in vielfältiger Ausprägung zur Lösung zahlreicher Optimierungsprobleme mit kombinatorischem Charakter Verwendung finden kann.Google Scholar

GA wurden ursprünglich von John Holland, vgl. Holland (1975), entwickelt; auf ihn geht auch die Theorie zu GA zurück. Eine umfassende Einführung über Genetische Algorithmen bietet v.a. Goldberg (1989). Eine Abgrenzung der GA zu ähnlich konzipierten Evolutionsstrategien fmdet man beispielsweise in Hoffmeister und Bäck (1991).Google Scholar

Abstrahierend kann die Evolution als sich wiederholender, 2-stufiger Prozeß interpretiert werden, der zum einen aus der Erzeugung einer Population zufälliger Variationen (Individuen) und zum anderen in der Aussonderung unvorteilhafter Variationen durch natürliche Auslese (“Survival of the Fittest” nach Darwin) besteht.Google Scholar

Im biologischen Variablenraum sind alle relevanten Informationen auf Chromosomen kodiert. Diese bestehen aus einer Reihe linear angeordneter Gene. Ein Gen enthält dabei jegliche benötigte Information für spezifisch geformte Makromoleküle; die Reihenfolge bestimmt Form und Eigenschaften (vgl. Rechenberg (1973)).Google Scholar

Die Betrachtung von gemäß (4.9) unzulässigen Lösungen als Individuen wird hier ausgeschlossen; eine Bewertung solcher Individuen kann jedoch prinzipiell mit Hilfe von proportional zur jeweils vorliegenden Restriktionsverletzung verrechneten Strafkosten erfolgen.Google Scholar

Die Reproduktion besteht in einer Erzeugung von identischen Kopien einzelner Strings. Das Kopieren der Strings in Abhängigkeit von deren relativer Fitness bedeutet, daß Strings mit einer größeren Fitness mit höherer Wahrscheinlichkeit einen oder mehrere Nachkommen für die nächste Generation beitragen als Strings mit niedrigerer Fitness. Der Selektionsoperator ist damit eine künstliche Variante der natürlichen Selektion nach dem Darwinschen Überlebensprinzip.Google Scholar

Die Literatur beschreibt eine Reihe von alternativen Vorgehensweisen zur Generierung des Genpools (vgl. Baker (1985)), die sich hier jedoch in ersten numerischen Untersuchungen nicht als überlegen erwiesen haben und daher nicht näher geschildert werden sollen.Google Scholar

Bei einer binären Kodierung können alle Stringpositionen jeweils lediglich die Werte 0 oder 1 annehmen.Google Scholar

Komplexere Formen des Crossover, wie beispielsweise Mehrpunkt-Crossover, Crossover-Inversion oder die Einbeziehung von Varianten dominant-rezessiver Vererbung sind möglich, haben sich hier jedoch nicht als dem einfachen 1-Punkt-Crossover überlegen erwiesen. Vgl. dazu auch DeJong und Spears (1992) sowie Liepins und Vose (1992).Google Scholar

Mutation ist kein primärer GA-Operator. Eine Anwendung ist jedoch empfehlenswert, da dadurch eine vorzeitige Spezialisierung der Individuen und der vorschnelle Verlust wichtiger Informationen in einer Population (d.h. eine Konzentration des Suchprozesses im Bereich eines lokalen Optimums) vermieden wird. Zudem können durch Mutation Lösungen entstehen, die in der Ausgangspopulation nicht vorhandene Informationen enthalten.Google Scholar

Ober einen erfolgreichen Einsatz Genetischer Algorithmen zur Lösung spezieller Problemklassen berichten beispielsweise Domdorf und Pesch (1992), Kopfer (1992) sowie Thiel und VoB (1992).Google Scholar

Vgl. dazu z.B. Minoux (1986), Ibarald (1987) oder Domschke und Drexl (1991).Google Scholar

Ein B&B- Verfahren läßt sich als ein spezielles Entscheidungsbaumverfahren mit einer begrenzten, unvollständigen Enumeration charakterisieren. Vgl. zu diesen Begriffen Ibaraid (1987).Google Scholar

Eine primale Vorgehensweise ist dadurch gekennzeichnet, daß stets primal zulässige Lösungen vorliegen. Entsprechend arbeiten duale Konzepte mit dual zulässigen Lösungen.Google Scholar

Soland (1974) betrachtet kapazitierte sowie unkapazitierte Warehouse Location Probleme bei nichtkonvexem Verlauf von Transport-und Produktionskosten.Google Scholar

Zur Definition dieser Begriffe und zur Existenz der Funktionale siehe Anhang sowie Horst (1979, S. 282f.) und Horst (1990).Google Scholar

Definitionsgemäß, vgl. Definition A.12, handelt es sich bei einem konvexen Hüllfunktional um das “beste” konvexe Subfunktional und damit um die beste konvexe Funktion, die zu einer Approximation von unten herangezogen werden kann.Google Scholar

Es handelt sich hier vor allem um Problemstellungen der linearen, konvexen und (gemischt-) ganzzahligen linearen Optimierung.Google Scholar

Jedoch gilt hier i.a. das “Gesetz von der Erhaltung der Arbeit”: Schärfere Schranken sind in der Regel mit einem höheren Rechenaufwand bei der Lösung des relaxierten Problems verbundenGoogle Scholar

Wurden in P Ungleichheitsrestriktionen relaxiert, so sind im Lagrange-Dualen Problem Nichtnegativitätsbedingungen hinsichtlich der Lagrange-Multiplikatoren a zu berücksichtigen.Google Scholar

Eine umfassende diesbeziigliche Darstellung fmdet sich in Geoffrion (1971).Google Scholar

Eine ähnliche Vorgehensweise verwenden Kubo und Kasugai (1991) im Rahmen ihrer Heuristik (Ermittlung oberer und unterer Schranken) zur Lösung von PDP mit nichtlinearen Transportkosten.Google Scholar

Siehe beispielsweise Geoffrion (1974), Fisher et al. (1975), Shapiro (1979) und Fisher (1981).Google Scholar

Alternative Vorgehensweisen zur Lösung des dualen Problems sind Anstiegsverfahren (Lagrangean Dual Ascent-bzw. Multiplier-adjustment-Methoden) sowie Verfahren der âuBeren linearen Approximation (Schnitt-ebenenverfahren); vgl. Bazaraa und Shetty (1979).Google Scholar

Zur Definition eines Subgradienten in Verallgemeinerung des Gradientenbegriffs für differenzierbare Funktionen siehe Anhang.Google Scholar

Alternativ können auch die im letzten Transportproblem des Verfahrens KK ermittelten Dualvariablen herangezogen werden. Analog kann eine solche Initialisierung auch bei Verwendung der Heuristiken SMA oder SAA durchgeführt werden.Google Scholar

Die Verwendung einer ähnlichen Surrogate-Constraint hat sich auch bei der Lösung kapazitierter WLP bewährt; vgl. Comuejols et al. (1991).Google Scholar

Andere Ansätze zur Bestimmung verbesserter Schranken auf Basis von Lagrange-Dualität sind schrankenverbessemde Folgen (bound improving sequences, vgl. Barcia (1985)) sowie deren Kombination mit Lagrange-Dekomposition; vgl. Barcia und Jömsten (1990).Google Scholar

Zur Struktur dieser Minimax-Probleme vgl. Magnanti und Wong (1990).Google Scholar

Diese Beziehung stellt den Zusammenhang zwischen Cross Dekomposition einerseits und rein primaler bzw. rein dualer Dekomposition andererseits her; vgl. Lee (1993) sowie Holmberg (1990).Google Scholar

Zur theoretischen Fundierung dieses Sonderfalls siehe Holmberg (1990, S. 274).Google Scholar

Mehrfach ermittelte primal zulâssige Lösungen erzeugen identische und somit redundante Nebenbedingungen. 131 Zur Konzeption und möglichen Ausgestaltung solcher Tests vgl. van Roy (1983,1986)Google Scholar

Eine solche Vorgehensweise zur Lösung des Grundproblems gilt als klassischer Lösungsansatz der separablen Programmierung und wird dort als konkave polyhedrale Unterschätzung (Concave Polyhedral Underestimation) bezeichnet; vgl. Horst und Tuy (1993, S. 260).Google Scholar

Kamesam und Meyer (1984) stellen fur den Fall separabler, konvexer Programmierung iterative Methoden der stückweise linearen Approximation auf Basis fester Teilungen (feste Anzahl Stützstellen je Variable) sogenannten Strategien “impliziter Teilungen” (Generierung von Stützstellen wie benötigt) gegenüber.Google Scholar

Im Rahmen von Mehrgüterproblemen wird die Bezeichnung “choice of facility type” zum Teil auch in einem anderen Zusammenhang verwendet; vgl. Lee (1991, 1993). Ein Standorttyp korrespondiert dort mit einer unterschiedlichen Ausstattung bzgl. verschiedener Produkte und den damit verbundenen gemeinsamen, produktübergreifenden Fixkosten.Google Scholar

Drysdale and Sandiford (1969) äußerten 1969, daß “at present this approach is not attractive because of the computational cost associated with such large integer programs and the unsatisfactory performance of the existing codes”.Google Scholar