Zusammenfassung
Die Hauptkapitel in dieser Arbeit sind die Kapitel II, IV und V. In Kapitel II wurden die Wertgrenzen und die ausgewählten Wertrestriktionen von Devisenoptionen ausgearbeitet, und in Kapitel IV wurden jeweils ein Bewertungsmodell für europäische und eines für amerikanische Devisencalls bzw. Devisenputs im Binomialansatz entwickelt. Es handelt sich nun in Kapitel V um die Simulationsuntersuchung der Wertgrenzen und der Werte von Devisenoptionen sowie um die Simulationsuntersuchung der Wertunterschiede zwischen europäischen und sonst identischen amerikanischen Optionen. Die Untersuchungsergebnisse in Kapitel II und Kapitel IV werden in Kapitel V angewandt.
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Literatur
Sensitivitätsanalysen des europäischen Optionswerts bei den BlackScholes-Modellen für Calls und Puts lassen sich relativ einfach durchführen. Die Standardoptionsparameter sind schon in den analytischen Bewertungsformeln enthalten. Man braucht nur die erste partielle Ableitung der Formeln bezüglich des in Betracht gezogenen Parameters zu ermitteln. Ist das Vorzeichen der Ableitung positiv, so nimmt der Optionswert bei zunehmendem Parameterwert ebenfalls zu. Ist das Vorzeichen der Ableitung negativ, so nimmt der Optionswert bei zunehmendem Parameterwert ab. Vgl. hierzu R.A. Jarrow und A. Rudd, a.a.O., S. 117–121; L. Jurgeit, a.a.O., S. 125–133. Zu Sensitivitätsanalysen des europäischen Devisenoptionswerts bei Modellen des Black-Scholes-Typs vgl. M.B. Garman und S.W. Kohlhagen, a.a.O., S. 234.
Dieses Recht ist bei Devisenoptionen in bestimmten Fällen ohne Wert. Auf diese Fälle wird später in diesem Kapitel eingegangen.
Siehe Verhältnisse der Werte von europäischen und amerikanischen Devisenoptionen auf S. 134 in Kapitel II.
Siehe Wertgrenzen von Calls auf S. 42 in Kapitel II; Wertgrenzen von Puts auf S. 63 in Kapitel II.
Siehe dazu Abbildung A4 auf S. 43 in Kapitel II.
Siehe dazu Abbildung A8 auf S. 64 in Kapitel II.
Siehe Wertänderungsparameter bei der Modellanwendung auf S. 236 ff. im letzten Kapitel.
Bei der Quotierung eines Optionswerts in der Praxis ist die Genauigkeit des Werts wichtig. Bei der Sensitivitätsanalyse ist die Richtung der Veränderung eines Optionswerts wichtiger als die Größe der Veränderung. Um Rechenzeit zu sparen, wird laut Jarrow/Rudd in der Regel n = 150 bis 200 verwendet. Vgl. hierzu R.A. Jarrow und A. Rudd, a.a.O., S. 196 f. Bei den Simulationen des Verfassers ergibt sich kein wesentlicher Unterschied zwischen n = 200 und n = 300.
Siehe Wertuntergrenzen eines europäischen Call sowie die eines amerikanischen Call auf S. 42 in Kapitel II.
Realistische Parameterwerte beziehen sich auf die im Devisenoptionshandel üblichen Parameterwerte. Ein Zinssatz oder eine Volatilität von über 20% z.B. kommt unter den Haupthandelswährungen selten vor. Devisenoptionen mit Restlaufzeiten von über eineinhalb Jahren werden selten gehandelt, und diese Restlaufzeiten sind ebenfalls unrealistische Parameterwerte.
Siehe Wertänderungsparameter bei der Modellanwendung auf S. 236 ff. im letzten Kapitel.
Es wird im Devisen- und Devisenoptionshandel bis zur vierten Stelle hinter dem Komma quotiert und berechnet.
In diesem Unterkapitel wird das Standardkoordinatensystem mit verschiedenen Parameterwertkonstellationen untersucht.
Siehe Steigung der zweiten Wertuntergrenze eines Call auf S. 29 und S. 38 sowie Steigung der dritten Wertuntergrenze eines Call auf S. 38 in Kapitel II. aθc/aSt ist die Differenz zwischen der Steigung der zweiten Wertuntergrenze e- fτ und der der dritten 1. Siehe Definition von θC auf S. 247, letzter Abschnitt.
Die zweite Wertuntergrenze eines europäischen und eines sonst identischen amerikanischen Call ist dieselbe.
Die Simulationsergebnisse der Wertobergrenze des europäischen und des amerikanischen Call lassen sich aus den Anmerkungen von Tabelle Tl ablesen. Sie sind jedoch für die beabsichtigte Untersuchung in diesem Unterkapitel nicht wichtig.
Siehe Verhältnisse der Werte von europäischen und amerikanischen Optionen auf S. 134 in Kapitel II.
Da die Werte in Tabelle T1 bis zur vierten Stelle berechnet und gerundet werden, sind die Zunahmen von ct, Ct und EC bei niedrigen Kassakursen nicht beobachtbar.
Zur Abbildung der Wertkurven von Aktiencalls vgl. u.a. R.A. Jarrow und A. Rudd, a.a.O., S. 82; J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 155; R.E. Whaley, On Valuing American Futures Options, a.a.O., S. 53; R.E. Whaley, Valuation of American Futures Options: Theory and Empirical Tests, The Journal of Finance, Vol. 41, Nr. 1 (1986) , S. 127–150, hier: S. 131; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 64. Es ist anzumerken, daß es sich in den beiden Artikeln von Whaley um Optionen auf Terminaktien und nicht auf Kassaaktien handelt. In den Abbildungen der anderen Artikel wird nur die amerikanische Wertkurve gezeigt. Daß bei einer Aktie mit Dividenden die europäische Wertkurve mit zunehmendem Aktienkurs unter die dritte Wertuntergrenze fällt, wird in der Literatur selten erwähnt.
Da die Werte bis zur vierten Stelle berechnet und gerundet werden, werden die kleinen positiven Werte nach der vierten Stelle bei niedrigen Kassakursen in Tabelle Tl nicht berücksichtigt.
Siehe Schnittpunkt X’ eines Call auf S. 30 und S. 39 in Kapitel II.
Unrealistische Parameterwerte oder Grenzfälle könnten zu anderen Ergebnissen führen. Die Grenzfälle werden später bei der Untersuchung des entsprechenden Parameters behandelt.
Siehe Abbildung A4 auf S. 43 in Kapitel II.
Siehe Aussagen a) bis e) auf S. 254 ff., letzter Abschnitt.
Die erste Wertuntergrenze — ct = 0 bzw. Ct = 0 — ist die Abszisse und von d unabhängig. Die dritte Wertuntergrenze St-X ist ebenfalls von d unabhängig, das kann man auch aus der Spalte “Wug” in den Untertabellen entnehmen.
Folgendes ist bei den graphischen Darstellungen der Simulationsergebnisse in Kapitel V zu beachten: Aus Tabelle T2 ist ersichtlich, daß die europäische und die amerikanische Wertkurve zwar unterschiedlich sind, aber häufig eng beieinander liegen. Eine proportionale Darstellung des Standardkoordinatensystems — wie in Abbildung Al — mit Hilfe eines Computerprogramms wie z.B. LOTUS oder EXCEL, um den Unterschied zwischen den Wertkurven zu zeigen, ist nicht brauchbar, da der Unterschied sich bei manchen Parameterwertkonstellationen nur aus der Tabelle erkennen läßt. Deshalb werden die Verhältnisse der Wertkurven zueinander in einer qualitativen Darstellung des Standardkoordinatensystems ohne Skalierung (Abbildung A3) erläutert, wobei der Unterschied übermäßig betont wird. So ist es möglich, die globalen Verhältnisse, einschließlich Übereinstimmungen und Auseinanderfallen der Wertkurven, anschaulich zu machen. Das gleiche gilt für die Unterschiede zwischen einer Wertkurve und den entsprechenden Wertuntergrenzen.
Der Vorzeichenwechsel von θc in Untertabelle T2 iii) findet bei einem Kassakurs unterhalb $0.30 statt. Auf den Schnittpunkt D wird später bei der Untersuchung bezüglich der Restlaufzeit näher eingegangen.
Da in Tabelle T2 nur bis zur vierten Stelle hinter dem Komma berechnet wird, ist die Veränderung von ct, Ct und EC bei niedrigen Kassakursen nicht beobachtbar und zu vernachlässigen.
Für alle Simulationen von Devisencalls in Kapitel V gilt im Kursbereich $0 < St < $0. 30 folgendes: Bei St = $0 sind ct = $0 und Ct = $0, d.h. beim Koordinatennullpunkt bzw. beim Ursprung der europäischen und der amerikanischen Wertkurve ist keine Verschiebung vorhanden. Bei $0 < St < $0. 30 sind ct ≅ $0 und Ct ≅ $0, d.h. jede Verschiebung sowie Wertzunahme ist zu vernachlässigen. Die Simulationsergebnisse im Kursbereich $0 <_ St < $0.30 in Tabellenform werden deshalb nicht gezeigt.
Die europäische (amerikanische) Wertkurve geht beim kritischen Kassakurs Kc (KC) in die zweite (dritte) Wertuntergrenze über.
Siehe ebenda.
Die numerischen Simulationen zeigen, daß die Optionswerte mit dem Parameter d monoton steigen (später fallen im Fall von Puts). In Analogie zur analytischen Differentiation der Wertuntergrenzen früher im Abschnitt werden die partiellen Ableitungen act/ad und aCt/ad bzw. aOptionswert/aParameter auch zur Charakterizierung der Optionswerte verwandt. Dasselbe gilt für die anderen noch zu untersuchenden Parameter f, a , τ und X sowie für Devisenputs.
Hier wird die Annahme des positiven Zinssatzes aufgehoben.
Der theoretische Wert der zweiten Wertuntergrenze bei d = ∞ ist Ste-fτ , also die Wertobergrenze des europäischen Call. In diesem Fall verschiebt sich die zweite Wertuntergrenze in Abbildung A3 bei zunehmendem d parallel in die umgekehrte Richtung bis Z′= 0 erreicht ist.
Auf eine genauere Simulationsuntersuchung dieser Folgerung wird hier verzichtet.
Siehe ebenda.
Die beiden Folgerungen lassen sich auf Aktienoptionen übertragen. Allgemein gilt : Während bei niedrigem d — wie z.B. in der Schweiz — der Wert der vorzeitigen Ausübung von Calls auf eine Aktie mit mäßigem Dividendensatz von Bedeutung ist, läßt er sich bei hohem d — wie z.B. in Großbritannien — vernachlässigen. Im Fall des hohen d kann man dann amerikanische Calls mit Hilfe eines Modells für europäische Calls bewerten.
>Die erste Wertuntergrenze ist die Abszisse und von f unabhängig. Die dritte Wertuntergrenze St-X ist ebenfalls von f unabhängig, das kann man auch aus der Spalte “Wug” in den Untertabellen entnehmen.
Der Schnittpunkt X’ befindet sich auf der Abszisse bei einem Kassakurs, bei dem der Vorzeichenwechsel von “2Wug” stattfindet.
Der Schnittpunkt D befindet sich auf der dritten Wertuntergrenze bei einem Kassakurs, bei dem der Vorzeichenwechsel von θc stattfindet.
Die europäische (amerikanische) Wertkurve geht beim kritischen Kassakurs Kc (KC) in die zweite (dritte) Wertuntergrenze über.
Hier wird die Annahme des positiven Zinssatzes aufgehoben.
Wertkurven und Wertuntergrenzen bei Kassakursen über $0. 90 werden hier nicht gezeigt.
Durch Simulationen erhält man folgendes: Mit f = 0% und X’ = $0. 4674 ergibt sich der Maximalwert von δc = $0. 0161. Mit f = 3% und X’ = $0. 4780 ergibt sich der Maximalwert von δc = $0. 0161. Mit f = 9% und X’ = $0. 5000 ergibt sich der Maximalwert von δc = $0. 0161. Es fällt auf, daß in allen drei Fällen der Maximalwert von δc derselbe ist. Auf diese Erkenntnis wird nicht näher eingegangen.
Der theoretische Wert der zweiten Wertuntergrenze bei f = ist -Xe-dτ. In diesem Fall dreht sich die zweite Wertuntergrenze in Abbildung A4 bei zunehmendem f im Uhrzeigersinne um den Punkt Z′, bis sie horizontal liegt, d.h. die zweite Wertuntergrenze liegt für alle Kassakurse unterhalb der Abszisse.
Diese Überlegungen lassen sich auf Aktienoptionen übertragen: Betrachtet man den Basiswährungszinssatz f als den Dividendensatz einer Aktie, so läßt sich analog aus Abbildung A4 festellen, daß sich die zweite Wertuntergrenze bei abnehmendem Dividendensatz um den Punkt Z′ gegen den Uhrzeigersinn nach links oben dreht. Bei dem Dividendensatz von null liegt die zweite Wertuntergrenze über und parallel zu der dritten. Das Recht der vorzeitigen Ausübung für amerikanische Calls der Aktie wird infolgedessen wertlos, und der Wert eines amerikanischen Call der Aktie muß dem eines sonst identischen europäischen entsprechen. Diese wichtige Erkenntnis der Optionstheorie ist Merton zuzuschreiben. Vgl. hierzu R.C. Merton, Theory of Rational Option Pricing, a.a.O., S. 144.
Auf eine genauere Simulationsuntersuchung dieser Folgerung wird hier verzichtet.
Vergleiche die Werte von EC in den Untertabellen bei f = 3% und f = 6%. In beiden Untertabellen gilt d = 9%.
Die beiden Folgerungen lassen sich auch auf Aktienoptionen übertragen. Betrachtet man den Basiswährungszinssatz f als den Dividendensatz, so gilt im allgemeinen folgendes : Während in einem Land mit mäßigem Zinssatz der Wert der vorzeitigen Ausübung von Calls auf eine Aktie mit hohem Dividendensatz von Bedeutung ist, läßt er sich bei einer Aktie mit niedrigem Dividendensatz vernachlässigen. Im Fall des niedrigen Dividendensatzes kann man dann amerikanische Calls mit Hilfe eines Modells für europäische Calls bewerten.
Siehe Wertgrenzen von Calls auf S. 42 in Kapitel II. Die Wertuntergrenzen hängen nicht von σ ab. Da u und v die einzigen Binomialoptionsparameter darstellen, welche Funktionen von a sind, hängen die Wertuntergrenzen auch nicht von u und v ab.
Zum Verhältnis zwischen a und u sowie zwischen σ und v siehe S. 236 ff. in Kapitel IV.
Bei niedrigem d ist der erste Term der beiden Gleichungen im Vergleich zum zweiten klein und läßt sich vernachlässigen. Daraus folgen zwei vereinfachte Gleichungen: u = +σl (τ /n) und v = -σ4 (τ /n). In der Tat lassen sich alle Devisenoptionswerte (für Calls sowie für Puts) in diesem Kapitel bei einem d < 3% mit Hilfe der vereinfachten Gleichungen ermitteln; die Differenzen sind bei Berechnungen bis zur vierten Stelle kaum bemerkbar.
Das Symbol SD bezeichnet den Kassakurs, bei dem sich der Schnittpunkt D zwischen der zweiten und der dritten Wertuntergrenze befindet, d.h. θ = 0. Es gilt hier SD ≅ X(d/f) = $0. 50 (12%/9%) = $0. 6667. Der Schnittpunkt D und der Kassakurs SD von Devisencalls werden im nächsten Abschnitt im Detail behandelt.
Die Werte von ct bzw. δc bei St = X’ = $0. 4889 werden in den Tabellen nicht gezeigt.
Simulationen bezüglich a mit d (9%) < f (12%) und d = f = 9% werden hier nicht gezeigt. Auf eine detailliertere Untersuchung von εc bezüglich a wird mit Rücksicht auf den Umfang der Arbeit verzichtet.
Bei niedrigen Kassakursen, wobei nur die erste Wertuntergrenze vorhanden ist, beträgt die höchste Wertuntergrenze des Call null. Bei höheren Kassakursen, wobei auch die zweite oder die zweite sowie die dritte Wertuntergrenze anwesend sind, entspricht die höchste Wertuntergrenze
des Call der zweiten bzw. der dritten Wertuntergrenze.
Simulationen bezüglich σ mit d < f und d = f werden hier nicht gezeigt.
Die Auswirkungen von τ auf Callwerte lassen sich in vier Kategorien unterteilen: a) Der Heimwährungszinseffekt : Die Restlaufzeit wirkt sich zusammen mit dem Heimwährungszinssatz positiv auf europäische und amerikanische Callwerte aus — je höher τ eines Call bei einem bestimmten d, desto größer der Callwert. Das läßt sich intuitiv wie folgt erklären: Ein höheres τ oder ein höheres d verursacht im Fall der späteren Ausübung einen niedrigeren gegenwärtigen Wert des zu bezahlenden Basiskurses. b) Der Basiswährungszinseffekt: Die Restlaufzeit wirkt sich zusammen mit dem Basiswährungszinssatz negativ auf europäische und amerikanische Callwerte aus — je höher τ eines Call bei einem bestimmten f, desto kleiner der Callwert. Das läßt sich intuitiv wie folgt erklären: Ein höheres τ oder ein höheres f verursacht im Fall der späteren Ausübung einen niedrigeren gegenwärtigen Wert der zu erhaltenden Einheit der Basiswährung. c) Der Kursschwankungseffekt : Die Restlaufzeit wirkt sich zusammen mit der Volatilität positiv auf europäische und amerikanische Callwerte aus — je höher τ eines Call bei einem bestimmten a, desto größer der Callwert. Das läßt sich intuitiv wie folgt erklären: Bei einem höheren τ oder einem höheren a ist die Wahrscheinlichkeit größer, daß der Kassakurs über bzw. weit über den Basiskurs steigt. d) Der europäische Effekt: Dieser Effekt ist ein reiner Effekt der Restlaufzeit, der nicht von einem anderen Parameter abhängt. Er wirkt sich negativ auf europäische Callwerte aus: Der Inhaber eines amerikanischen Call kann seinen Call jederzeit ausüben und erhält den Ausübungswert in Höhe der dritten Wertuntergrenze St-X. Für den Inhaber eines europäischen Call bedeutet die zunehmende Restlaufzeit, daß der Tag der möglichen Ausübung immer weiter nach hinten verlegt wird. Er verliert dabei an Flexibilität. Im Grenzfall τ = c∞. läßt sich der europäische Call niemals ausüben und hat daher keinen Wert. Diesen Grenzfall kann man auch analytisch erklären: Bei τ = ∞ entspricht die Wertobergrenze des Call S t e - fτ null. Diese ökonomische Betrachtungen sind angelehnt zum Teil an J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 34–37. Diese Arbeit beschränkt sich in diesem Kapitel dahingegen auf mathematische Betrachtungen (Simulations- sowie analytische Betrachtungen).
Strenggenommen werden in der Praxis für unterschiedliche ττ bei der Bewertung von Devisenoptionen unterschiedliche (entsprechende) d angewandt. Siehe Eurogeldmarktsätze, Fußnote 6) auf S. 235 in Kapitel IV. Diese Zinssätze liegen jedoch nicht weit auseinander. Die Zinssätze eines Hochzinslands sind von denen eines Niedrigzinslands deutlich zu unterscheiden.
Die erste Wertuntergrenze ist die Abszisse und von τ unabhängig. Die dritte Wertuntergrenze St-X ist ebenfalls von τ unabhängig, das kann man auch aus der Spalte “3Wug” in den Untertabellen ersehen.
Die Drehung kann man ebenfalls aus der Spalte θc ablesen.
Für d < f gilt SD < X und für d = f gilt SD = X. Die Begründung folgt in diesem Abschnitt.
Ein Drehpunkt, der sich während der Drehung verschiebt, ist genau genommen kein Drehpunkt. Es handelt sich in diesem Abschnitt um eine Näherungsformel, wobei die geringfügige Verschiebung zu vernachlässigen ist.
Bei großem τ (unrealistisch) lassen sich die Glieder der Reihenentwicklungen von e-dt und e-fτ höherer Ordnungen nicht mehr vernachlässigen. Betrachtet man nun die exakte Formel SD = X [(1-e-dτ) / (1-e-fτ)] , so stellt man folgendes fest : Bei d > f gilt e -dτ < e-ft , d. h. (1-e-dτ) / (1e-fτ) > 1 und SD > X. Mit zunehmendem τ geht (1-e-dτ) / (1-e-fτ) gegen 1 , d. h. SD in Abbildung A5 wird kleiner und bewegt sich auf X zu. Im Grenzfall τ = ∞ ergibt sich SD = X. In der Tat verschiebt sich Punkt D mit zunehmendem τ neben der Drehung der zweiten Wertuntergrenze entlang der dritten Wertuntergrenze nach links unten und nähert sich Punkt X. Bei τ = ∞ fällt die zweite Wertuntergrenze mit der Abszisse (Punkt D mit Punkt X) zusammen. Diese Verschiebung ist jedoch für die beabsichtigte Untersuchung nicht wichtig, und darauf wird nicht im Detail eingegangen.
Das läßt sich aus Abbildung A5 ersehen.
Es ist anzumerken, daß X in der Regel zwischen X’ und SD liegt. Im Fall d < f gelten X’ > X und SD < X. Im Fall d = f fallen X’ , SD und X zusammen. Das kann man auch aus der jeweiligen Formel für X’ und für SD entnehmen.
Berücksichtigt man die exakte Formel SD = X[(1-e-dτ) / (1-e-fτ)] , so ist SD nicht mehr von τ unabhängig. Für die obigen Parameterkonstellationen ergibt sich folgendes: Bei τ = 0. 25 Jahre gilt SD = $0. 6642, bei τ = 0. 75 Jahre gilt SD = $0. 6593, bei τ = 1. 25 Jahre gilt SD = $0. 6546.
Wie im Fall der Optionswerte zeigen die folgenden partiellen Ableitungen lediglich Simulationsergebnisse.
Da in Tabelle T8 nur bis zur vierten Stelle hinter dem Komma berechnet wird, ist die Zunahme von ct, Ct und EC bei niedrigen Kassakursen nicht beobachtbar.
Es ist möglich, daß es zwei Trennkurse gibt — einen für den europäischen und einen für den amerikanischen Call -, die dicht beieinander liegen. Ohne eine sehr viel feinere Zerlegung des Kassakurses läßt sich der Trennkurs nicht analysieren; eine Untersuchung des Trennkurses ist hier nicht beabsichtigt.
Siehe vierte Wertrestriktion von amerikanischen Calls auf S. 85 in Kapitel II.
Tabelle T9 zeigt : Bis zu St = $0.35 nimmt die zweite Wertuntergrenze zu. Ab St = $0. 40 nimmt die zweite Wertuntergrenze ab.
Tabelle T9 zeigt: Bis zu St = $0. 50 nehmen ct und Ct zu. Ab St = $0. 55 nimmt ct ab und Ct = 3Wug. Da in Tabelle T9 nur bis zur vierten Stelle hinter dem Komma berechnet wird, ist die Zunahme von ct, Ct und EC bei niedrigen Kassakursen nicht beobachtbar.
Die Werte von δc bei den unterschiedlichen St = X’ werden in den Untertabellen nicht gezeigt.
Siehe Wertrestriktionen von Devisencalls auf S. 85 in Kapitel II.
Siehe Wertuntergrenzen eines europäischen Put sowie die eines amerikanischen Put auf S. 63 in Kapitel II.
Siehe Wertänderungsparameter bei der Modellanwendung auf S. 236 ff. im letzten Kapitel.
In diesem Unterkapitel wird das Standardkoordinatensystem mit verschiedenen Parameterwertkonstellationen untersucht.
Siehe Steigung der zweiten Wertuntergrenze eines Put auf S. 50 und S. 58 sowie Steigung der dritten Wertuntergrenze eines Put auf S. 59 in Kapitel II. ∂θp/∂St ist die Differenz zwischen der Steigung der zweiten Wertuntergrenze -e-fτ und der der dritten -1. Siehe Definition von Op auf S. 247 in diesem Kapitel.
Die zweite Wertuntergrenze eines europäischen und eines sonst identischen amerikanischen Put ist dieselbe.
Die Simulationsergebnisse der Wertobergrenze des europäischen und des amerikanischen Put lassen sich aus den Anmerkungen von Tabelle T13 ablesen. Sie sind jedoch für die beabsichtigte Untersuchung in diesem Unterkapitel nicht wichtig. Siehe Verhältnisse der Werte von europäischen und amerikanischen Devisenoptionen auf S. 134 in Kapitel II. Siehe Put-Call-Verhältnisse von Devisenoptionen auf S. 119 in Kapitel II.
Da die Werte in Tabelle T13 nur bis zur vierten Stelle berechnet werden, sind die Abnahmen von pt, Pt und Ep bei hohen Kassakursen nicht mehr beobachtbar.
Zur Abbildung der Wertkurven von Aktienputs vgl. u.a. R.A. Jarrow und A. Rudd, a.a.O., S. 83; J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 155; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsge-schäft, a.a.O., S. 66. Es ist anzumerken, daß in ihren Abbildungen nur die amerikanische Wertkurve gezeigt wird. Bei einer Aktie mit Dividenden fällt die europäische Wertkurve mit abnehmendem Aktienkurs unter die dritte Wertuntergrenze.
Da die Werte bis zur vierten Stelle berechnet werden, werden die kleinen positiven Werte von δp und δp nach der vierten Stelle bei niedrigen Kassakursen in Tabelle T13 nicht berücksichtigt.
Siehe Schnittpunkt X’ eines Put auf S. 51 und S. 60 in Kapitel II.
Bei unrealistischen Parameterwerten oder in Grenzfällen könnten sich andere Ergebnisse ergeben. Die Grenzfälle werden später bei der Untersuchung des entsprechenden Parameters behandelt.
Siehe Abbildung A8 auf S. 64 in Kapitel II.
Die meisten Untertabellen in diesem Unterkapitel haben eine entsprechende Untertabelle (mit den gleichen Parameterwerten) im letzten Unterkapitel bezüglich Calls. Durch Vergleiche läßt sich zeigen, daß die PutCall-Verhältnisse von Devisenoptionen eingehalten werden.
Siehe Aussagen a) bis e) auf S. 327 ff., letzter Abschnitt.
Die erste Wertuntergrenze — pt = 0 bzw. Pt = 0 — ist die Abszisse und von d unabhängig. Die dritte Wertuntergrenze X-St ist ebenfalls von d unabhängig, das kann man auch aus der Spalte “3Wug” in den Untertabellen entnehmen.
Der Vorzeichenwechsel von Op in Untertabelle T14 iii) findet bei einem Kassakurs oberhalb $0. 80 statt. Auf den Schnittpunkt D wird später bei der Untersuchung bezüglich der Restlaufzeit näher eingegangen.
Da in Tabelle T14 nur bis zur vierten Stelle hinter dem Komma berechnet wird, ist die Veränderung von pt, Pt und Ep bei hohen Kassakursen nicht beobachtbar und zu vernachlässigen.
Für alle Simulationen von Devisenputs in Kapitel V gilt folgendes: Bei St > $0. 80 sind pt ≅ $0 und Pt a $0, d.h. jede Verschiebung der europäischen und der amerikanischen Wertkurve ist zu vernachlässigen. Die Simulationsergebnisse oberhalb von St = $0. 80 in der Tabellenform werden deshalb nicht gezeigt.
Die europäische (amerikanische) Wertkurve geht beim kritischen Kassakurs Kp (Kp) in die zweite (dritte) Wertuntergrenze über.
Siehe ebenda.
Hier wird die Annahme des positiven Zinssatzes aufgehoben.
Durch Simulationen erhält man folgendes : Mit d = 0% und X’ = $0. 5349 ergibt sich der Maximalwert von 8 p = $0. 0161. Mit d = 3% und X’ = $0. 5230 ergibt sich der Maximalwert von δp = $0. 0161. Mit d = 9% und X’ = $0. 5000 ergibt sich der Maximalwert von 8p = $0. 0161. Es fällt auf, daß in allen drei Fällen der Maximalwert von 8 derselbe ist. Auf diese Erkenntnis wird nicht näher eingegangen.
Der theoretische Wert der zweiten Wertuntergrenze bei d = ∞ ist -Ste-fτ. In diesem Fall verschiebt sich die zweite Wertuntergrenze in Abbildung A13 bei zunehmendem d parallel in die umgekehrte Richtung bis Z ′ = 0 erreicht ist, d.h. die zweite Wertuntergrenze liegt für alle Kassakurse unterhalb der Abszisse.
Diese Überlegungen lassen sich auf Aktienoptionen übertragen: Betrachtet man den Basiswährungszinssatz f als den Dividendensatz einer Aktie, so läßt sich analog aus Abbildung A13 feststellen, daß sich die zweite Wertuntergrenze bei abnehmendem Heimwährungszinssatz parallel nach rechts oben verschiebt. Bei dem Heimwährungszinssatz von null liegt die zweite Wertuntergrenze für alle Kassakurse über der dritten. Das Recht der vorzeitigen Ausübung für amerikanische Puts der Aktie wird infolgedessen wertlos, und der Wert eines amerikanischen Put der Aktie muß dem eines sonst identischen europäischen entsprechen.
Auf eine genauere Simulationsuntersuchung dieser Folgerung wird hier verzichtet.
Vergleiche die Werte von Ep in den Untertabellen bei d = 3% und d = 6%. In beiden Untertabellen gilt f = 9%.
Die beiden Folgerungen lassen sich auf Aktienoptionen übertragen. Allgemein gilt: Während bei hohem d — wie z.B. in Großbritannien — der Wert der vorzeitigen Ausübung von Puts auf eine Aktie mit mäßigem Dividendensatz von Bedeutung ist, läßt er sich bei niedrigem d — wie z.B. in der Schweiz — vernachlässigen. Im Fall des niedrigen d kann man dann amerikanische Puts mit Hilfe eines Modells für europäische Puts bewerten.
Die erste Wertuntergrenze ist die Abszisse und von f unabhängig. Die dritte Wertuntergrenze X-St ist ebenfalls von f unabhängig, das kann man auch aus der Spalte “3Wug” in den Untertabellen entnehmen.
Hier wird die Annahme des positiven Zinssatzes aufgehoben.
Der theoretische Wert der zweiten Wertuntergrenze bei f = ∞∞ ist Xe-dτ , also die Wertobergrenze des europäischen Put. In diesem Fall dreht sieh die zweite Wertuntergrenze in Abbildung A14 bei zunehmendem f gegen den Uhrzeigersinn um den Punkt Z ′ nach rechts oben bis sie horizontal liegt
Auf eine genauere Simulationsuntersuchung dieser Folgerung wird hier verzichtet
Siehe ebenda
Die beiden Folgerungen lassen sich auch auf Aktienoptionen übertragen. Betrachtet man den Basiswährungszinssatz f als den Dividendensatz, so gilt im allgemeinen folgendes : Während in einem Land mit mäßigem Zinssatz der Wert der vorzeitigen Ausübung von Puts auf eine Aktie mit niedrigem Dividendensatz von Bedeutung ist, läßt er sich bei einer Aktie mit hohem Dividendensatz vernachlässigen. Im Fall des hohen Dividendensatzes kann man dann amerikanische Puts mit Hilfe eines Modells für europäische Puts bewerten
Siehe Wertgrenzen von Puts auf S. 63 in Kapitel II. Die Wertuntergrenzen hängen nicht von a , u und v ab
Zum Verhältnis zwischen σ und u sowie zwischen σ und v siehe S. 236 ff. in Kapitel IV
Anstelle von a = 0% wird hier bei der Modellsimulation σ = 0. 01 verwendet. Der Grund ist derselbe wie im Fall der Calls. Siehe Fußnote 4) auf S. 287 im letzten Unterkapitel. Die Definition von w für Devisenputs findet man auf S. 213 in Kapitel IV
Das Symbol SD bezeichnet den Kassakurs, bei dem sich der Schnittpunkt D zwischen der zweiten und der dritten Wertuntergrenze befindet, d.h. θ = 0. Es gilt hier SD ≅ X(d/f) = $0. 50 (9%/12%) = $0. 3750. Der Schnittpunkt D und der Kassakurs SD von Devisenputs werden im nächsten Abschnitt behandelt
Die Werte von pt bzw. δp bei St = X’ = $0. 5114 werden in den Tabellen nicht gezeigt
Simulationen bezüglich a mit d (12%) > f (9%) und d = f = 9% werden hier nicht gezeigt. Auf eine detailliertere Untersuchung von E p bezüglich σ wird mit Rücksicht auf den Umfang der Arbeit verzichtet
Bei höheren Kassakursen, wobei nur die erste Wertuntergrenze vorhanden ist, beträgt die höchste Wertuntergrenze des Put null. Bei niedrigen Kassakursen, wobei auch die zweite oder die zweite sowie die dritte Wertuntergrenze anwesend sind, entspricht die höchste Wertuntergrenze des Put der zweiten bzw. der dritten Wertuntergrenze
Simulationen bezüglich a mit d > f und d = f werden hier nicht gezeigt
Die Auswirkungen von τ auf Putwerte lassen sich in vier Kategorien unterteilen: a) Der Heimwährungszinseffekt: Die Restlaufzeit wirkt sich zusammen mit dem Heimwährungszinssatz negativ auf europäische und amerikanische Putwerte aus — jehöher τ eines Put bei einem bestimmten d, desto kleiner der Putwert. Das läßt sich intuitiv wie folgt erklären: Ein höheres τ oder ein höheres d verursacht im Fall der späteren Ausübung einen niedrigeren gegenwärtigen Wert des zu erhaltenden Basiskurses. b) Der Basiswährungszinseffekt: Die Restlaufzeit wirkt sich zusammen mit dem Basiswährungszinssatz positiv auf europäische und amerikanische Putwerte aus — je höher τ eines Put bei einem bestimmten f, desto größer der Putwert. Das läßt sich intuitiv wie folgt erklären: Ein höheres τ oder ein höheres f verursacht im Fall der späteren Ausübung einen niedrigeren gegenwärtigen Wert der zu bezahlenden Einheit der Basiswährung. c) Der Kursschwankungseffekt: Die Restlaufzeit wirkt sich zusammen mit der Volatilität positiv auf europäische und amerikanische Putwerte aus — je höher τ eines Put bei einem bestimmten a, desto größer der Putwert. Das läßt sich intuitiv wie folgt erklären: Bei einem höheren τ oder einem höheren a ist die Wahrscheinlichkeit größer, daß der Kassakurs unter bzw. weit unter den Basiskurs fällt. d) Der europäische Effekt: Dieser Effekt ist ein reiner Effekt der Restlaufzeit. Er wirkt sich negativ auf europäische Putwerte aus: Der Inhaber eines amerikanischen Put kann seinen Put jederzeit ausüben und erhält den Ausübungswert in Höhe der dritten Wertuntergrenze X-St. Für den Inhaber eines europäischen Put bedeutet die zunehmende Restlaufzeit, daß der Tag der möglichen Ausübung immer weiter nach hinten verlegt wird. Im Grenzfall τ = ∞ läßt sich der europäische Put niemals ausüben und hat daher keinen Wert. Diesen Grenzfall kann man auch analytisch erklären: Bei τ = ∞ entspricht die Wertobergrenze des Put Xe-dτ null. Diese ökonomischen Betrachtungen sind angelehnt zum Teil an J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 34–37. Diese Arbeit beschränkt sich in diesem Kapitel dahingegen auf mathematische Betrachtungen
Strenggenommen werden in der Praxis für unterschiedliche τ bei der Bewertung von Devisenoptionen unterschiedliche (entsprechende) d angewandt. Siehe Eurogeldmarktsätze, Fußnote 6) auf S. 235 in Kapitel IV. Diese Zinssätze liegen jedoch nicht weit auseinander
Die erste Wertuntergrenze ist die Abszisse und von τ unabhängig. Die dritte Wertuntergrenze X-St ist ebenfalls von τ unabhängig, das kann man auch aus der Spalte “3Wug” in den Untertabellen ersehen
Die Drehung kann man ebenfalls aus der Spalte Op ablesen
Für d < f gilt SD < X und für d = f gilt SD = X. Die Begründung folgt in diesem Abschnitt
Ein Drehpunkt, der sich während der Drehung verschiebt, ist genau genommen kein Drehpunkt. Es handelt sich in diesem Abschnitt um eine Näherungsformel, wobei die geringfügige Verschiebung zu vernachlässigen ist
Siehe Herleitung der Näherungsformel für SD von Devisencalls auf S. 297, letztes Unterkapitel
Betrachtet man nun die exakte Formel SD = X[(1-e-dτ) / (1-e-fτ)] , so stellt man bei großem τ (unrealistisch) folgendes fest : Bei d > f gilt (1-e-dτ) / (1-e-fτ) > 1 und SD > X. Mit zunehmendem τ geht (1-e-dτ) / (1e-fτ) gegen 1, d.h. SD in Abbildung Al5 wird kleiner und bewegt sich auf X zu. Im Grenzfall τ = ∞∞ ergibt sich SD = X. In der Tat verschiebt sich Punkt D mit zunehmendem τ neben der Drehung der zweiten Wertuntergrenze entlang der dritten Wertuntergrenze nach links oben und nähert sich Punkt X. Bei τ = fällt die zweite Wertuntergrenze mit der Abszisse (Punkt D mit Punkt X) zusammen. Auf diese Verschiebung wird nicht näher eingegangen
Das läßt sich aus Abbildung A15 ersehen
Es ist anzumerken, daß X in der Regel zwischen X’ und SD liegt. Im Fall d < f gelten X’ > X und SD < X. Im Fall d = f fallen X’ , SD und X zusammen. Das kann man auch aus der jeweiligen Formel für X’ und für SD entnehmen
Berücksichtigt man die exakte Formel SD = X[(1-e-dτ) / (1-e-fτ)] , so ist SD nicht mehr von τ unabhängig. Für die obigen Parameterkonstellationen ergibt sich folgendes: Bei τ = 0. 25 Jahre gilt SD = $0. 6642, bei τ = 0. 75 Jahre gilt SD = $0. 6593, bei τ = 1. 25 Jahre gilt SD = $0. 6546
Wie im Fall der Optionswerte zeigen die folgenden partiellen Ableitungen lediglich Simulationsergebnisse
Da in Tabelle T20 nur bis zur vierten Stelle hinter dem Komma berechnet wird, ist die Zunahme von pt, Pt und Ep bei hohen Kassakursen nicht beobachtbar
Siehe Definition des Trennkurses von Devisencalls auf S. 300, letztes Unterkapitel. Es ist möglich, daß es zwei Trennkurse gibt — einen für den europäischen und einen für den amerikanischen Put -, die dicht beieinander liegen. Ohne eine sehr viel feinere Zerlegung des Kassakurses läßt sich der Trennkurs nicht analysieren
Siehe vierte Wertrestriktion von amerikanischen Puts auf S. 103 in Kapitel II
Tabelle T21 zeigt: Bis zu St = $0.35 nimmt die zweite Wertuntergrenze ab. Ab St = $0.40 nimmt die zweite Wertuntergrenze zu
Tabelle T21 zeigt: Bis zu St = $0.35 nimmt pt ab und Pt = 3Wug. Ab St = $0.40 nehmen pt und Pt zu. Da in Tabelle T21 nur bis zur vierten Stelle hinter dem Komma berechnet wird, ist die Zunahme von pt, Pt und Ep bei hohen Kassakursen nicht beobachtbar
Die Werte von δp bei den unterschiedlichen St = X’ werden in den Untertabellen nicht gezeigt
Siehe Wertrestriktionen von Devisenputs auf S. 103 in Kapitel II.
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Fong, L.W. (1996). Werte, Wertgrenzen und Werte der vorzeitigen Ausübung von Devisenoptionen bezüglich der Standardoptionsparameter: eine Simulationsuntersuchung. In: Werteingrenzung und Bewertung von Devisenoptionen. Schriftenreihe des Instituts für Geld- und Kapitalverkehr der Universität Hamburg, vol 13. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-99362-5_5
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