Zusammenfassung
Ohne eine Annahme über das “stochastische”1) Devisenkursverhalten, das sich in Form einer statistischen Verteilung beschreiben läßt, kann der Wert einer Devisenoption nur eingegrenzt, nicht aber eindeutig bewertet werden. In der Tat ist die Werteingrenzung der erste Schritt zur Optionsbewertung. Der Werteingrenzung von Optionen liegen nur einfache Annahmen und vor allem das “Arbitrageargument” zugrunde, sie ist von den “Risikopräferenzen” der Marktteilnehmer unabhängig, und ihre Darstellung ist mit einfacher Mathematik möglich2). Aufgrund der Allgemeinheit ihrer Argumentation ist bei der Werteingrenzung jedoch eine eindeutige Lösung bzw. ein Optionswert als Ergebnis nicht möglich. Die Werteingrenzung setzt nur zulässige Wertbereiche für die zu bewertende Option, innerhalb derer sich der Wert der Option befinden muß. Liegt die eindeutige Lösung eines Bewertungsmodells für den Wert der Option außerhalb dieser zulässigen Wertbereiche, so erweist sich dieses Modell als mangelhaft und unzureichend3).
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Referenzen
Unter stochastisch soll unvorhersagbar verstanden werden. Eine Variable, deren Wert sich im Zeitablauf in einer unvorhersagbaren Weise ändert, folgt einem “stochastischen Prozeß”. Vgl. hierzu J. Hull, Options, Futures, and other Derivative Securities, 2. Aufl., Englewood Cliffs 1993, S. 190.
Die Behauptungen werden später in diesem Kapitel bewiesen.
Vgl. C.W. Smith Jr., Option Pricing: a Review, in: Journal of Financial Economics, Vol. 3, Nr. 1–3 (1976), S. 3–51, hier: S. 5 und S. 7.
In Anlehnung an C.W. Smith Jr., a.a.O., S. 5, S. 7 und S. 21 f.; R.M. Bookstaber, Option Pricing and Strategies in Investing, Reading u.a. 1981, S. 23.
Die in der Literatur behandelten Bewertungsmodelle von Devisenoptionen gehören überwiegend zum Black-Scholes-Typ. Da diese Modelle kein Thema in dieser Arbeit sind, seien interessierte Leser auf die folgenden Artikel verwiesen: H. Biger und J. Hull, The Valuation of Currency Options, in: Financial Management, Vol. 12, Nr. 1 (1983), S. 24–28;
M.B. Garman und S.W. Kohlhagen, Foreign Currency Option Values, in: Journal of International Money and Finance, Vol. 2, Nr. 3 (1983), S. 231–237, hier: S. 231–234;
J.O. Grabbe, The Pricing of Call and Put Options on Foreign Exchange, in: Journal of International Money and Finance, Vol. 2, Nr. 3 (1983), S. 239–253, hier: S. 244–248;
H.C. Yang, A Note on Currency Option Pricing Models, in: Journal of Business Finance and Accounting, Vol. 12, Nr. 3 (1985), S. 429–438, hier: S. 430–433.
Die in diesem Kapitel beschriebenen Arbitragestrategien werden verwendet, um die Wertgrenzen und Wertrestriktionen darzustellen. In der Realität sind die Gelegenheiten für diese Strategien selten und von kurzer Dauer. Vgl. hierzu J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 128; P. Ritchken, Options: Theory, Strategy and Applications, Glenview u.a. 1987, S. 70.
Vgl. R.C. Merton, Theory of Rational Option Pricing, in: Bell Journal of Economics and Management Science, Vol. 4, Nr. 1 (1973), S. 141–183, hier: S. 142–160.
Vgl. J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 39–44 und S. 127–163.
Das Dominanzargument behauptet: Die zulässigen Wertbereiche einer Option müssen so festgelegt werden, daß es bei einem Gleichgewicht der Finanzmärkte weder “dominierende” noch “dominierte” Finanztitel oder Portfolios geben kann. Als Beispiel vergleicht man zwei Alternativportfolios A und B, wobei der Wert von Portfolio A in jeder künftigen Alternativsituation größer oder gleich dem von Portfolio B ist. Im Marktgleichgewicht muß der gegenwärtige Wert von A größer als der von B sein; ansonsten ist B das dominierende und A das dominierte Portfolio. Interessierte Leser seien auf den Artikel von Merton (1973) verwiesen. Beim Arbitrageargument betrachtet man dagegen A und B zusammen als ein Gesamtportfolio; das Arbitrageargument wird im Text ausführlich behandelt.
Vgl. u.a. C.W. Smith Jr., a.a.O., S. 6–14; L. Grünwald, Optionsmarkt und Kapitalmarkteffizienz : eine Analyse der Organisations- und Informationseffizienz des börsenmäßigen Optionshandels in der Bundesrepublik Deutschland und den USA, München u.a. 1980, S. 170–175; R.M. Bookstaber, a.a.O., S. 23–39;
T.E. Copeland und J.F. Weston, Financial Theory and Corporate Policy, 2. Aufl., Reading u.a. 1983, S. 238–245; P. Ritchken, a.a.O., S. 70–89; H. Schmidt, Wertpapierbörsen: Strukturprinzip, Organisation, Kassa- und Terminmärkte, a.a.O., S. 77–80;
J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, Zürich 1988, S. 59–70 und S. 113115. Während Schmidt und Welcker/Kloy unter den in dieser Fußnote genannten Autoren das Arbitrageargument benutzen, wenden die anderen Autoren das Dominanzargument an.
Entstehen bei der Haltung eines optierbaren Objekts Erträge, so werden diese Erträge als der Eigenzins des Objekts bezeichnet. Stoll und Whaley nennen drei Beispiele des Eigenzinses: ein Aktienportfolio mit kontinuierlicher Dividendenzahlung, eine Fremdwährung mit kontinuierlicher Zinszahlung und die US-Bundesanleihe (treasury bond) mit kontinuierlicher Kuponzahlung. Vgl. hierzu H.R. Stoll und R.E. Whaley, New Option Instruments, Arbitrageable Linkages and Valuation, in: Advances in Futures and Options Research, Hrsg. F.J. Fabozzi, Greenwich und London 1986, S. 25–62, hier: S. 34 f.
Der Schlüssel zur Übertragung der Wertgrenzen und Wertrestriktionen von Aktienoptionen auf Devisenoptionen liegt in der Behandlung der Dividendenzahlung. Man kann die Zinszahlung einer Fremd- bzw. Basiswährung, umgerechnet in Heimwährung, als die proportionale Dividendenzahlung einer Aktie betrachten, wobei die Höhe des “Dividendensatzes” von der Höhe des Aktienkurses proportional abhängig ist. Der Begriff der proportionalen Dividendenzahlung stammt von Samuelson. Vgl. hierzu P.A. Samuelson, Rational Theory of Warrant Pricing, in: Industrial Management Review, Vol. 6, Nr. 1 (1965), S. 13–31, hier: S. 31. Hinsichtlich der unrealistischen Annahme, daß eine Firma ihre Dividendenzahlung stets nach der Höhe ihres Aktienkurses richten muß, hat sein Artikel wenig Beachtung in der Literatur gefunden. In bezug auf eine Fremdwährung erfolgt die “proportionale Dividendenzahlung” automatisch: Bleibt der Fremdwährungszinssatz unverändert, so erhält der Inhaber einer Fremdwährung eine — in Heimwährung umgerechnet — höhere Zinszahlung, je höher der Kassawechselkurs steigt und umgekehrt.
Der Schlüssel zur Übertragung der Wertgrenzen und Wertrestriktionen von Optionen auf Objekte mit positivem Eigenzins auf Devisenoptionen liegt in der Behandlung der “Bestandshaltekosten” (cost of carry). Die Bestandshaltekosten der Haltung eines optierbaren Objekts sind ein wichtiges Element im Optionshandel. Sie bestehen aus den folgenden Komponenten: Lagermiete, Versicherung, Schwund und Depotgebühren für die Haltung des Objekts sowie vor allem “Opportunitätskosten”. Opportunitätskosten sind Erträge aus der besten Alternativinvestition wie z.B. kurzfristige inländische Zinserträge. Stellt das optierbare Objekt Devisen dar, so gibt es bei den Bestandshaltekosten eine zusätzliche negative Komponente, nämlich die Zinserträge der zugrundeliegenden Basiswährung: Die optierbare Basiswährung wirft selber Erträge in Form von Basiswährungszinserträgen — den Eigenzins — ab. Außerdem existieren Lagermiete, Versicherung, Schwund und Depotgebühren nicht. Dann belaufen sich die Bestandshaltekosten lediglich auf die Differenz zwischen dem Heim- und dem Basiswährungszinsertrag. Vgl. hierzu H.R. Stoll und R.E. Whaley, a.a.O., S. 34 f.; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 84, S. 102 und S. 105. Folgende Erkenntnisse sind anzumerken: Die Bestandshaltekosten von Devisen sind im Vergleich zu denen von Waren viel niedriger. Das gilt besonders, wenn die Differenz zwischen dem Heim- und dem Basiswährungszinssatz klein ist. Im Fall, daß der Basiswährungszinssatz größer als der Heimwährungszinssatz ist, ergeben sich negative Bestandshaltekosten. Falls der Basiswährungszinssatz mit dem Heimwährungszinssatz gleich ist, sind die Bestandshaltekosten null. Zu Wertgrenzen und Wertrestriktionen von Optionen auf Objekte mit positivem Eigenzins vgl. H.R. Stoll und R.E. Whaley, a.a.O., S. 35–39 und S. 47–50; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 118–120.
Vgl. J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 127 f.; H. Schmidt, Wertpapierbörsen: Strukturprinzip, Organisation, Kassa- und Terminmärkte, a.a.O., S. 78 f. M.a.W. : Um Arbitragemöglichkeiten auszuschließen, muß man jetzt für diese Finanztitel/ Portfolios schon bezahlen — eine Nettoauszahlung.
Vgl. J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 41 f.; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 118 f. M.a.W. : Um Arbitragemöglichkeiten auszuschließen, darf der gegenwärtige Preis dieser Finanztitel/Portfolios nur null sein.
Die Strategien zu Arbitragegewinnen werden später bei den Ableitungen der Wertgrenzen und der Wertrestriktionen im einzelnen aufgezeigt.
Es ist hier anzumerken, daß die Risikopräferenzen der Marktteilnehmer nicht berücksichtigt werden.
In Anlehnung an N. Senghas, Präferenzfreie Bewertung von Kapitalanlagen mit Options-Charakter, Königstein/Taunus 1981, S. 20 f. Die von ihm für Aktienoptionen vorgelegten Annahmen werden hier für Devisenoptionen umformuliert. Dabei entfallen einige Annahmen: Dividenden nehmen die Form der Basiswährungszinszahlungen an. Die Teilbarkeit des Finanztitels ist bei Währungen selbstverständlich. Die Zulässigkeit des Leerverkaufs und die Abwesenheit der Einschußforderung sind im Devisenhandel üblich.
Zur weiteren Erklärung des vollkommenen Markts vgl. E.F. Fama und M.H. Miller, The Theory of Finance, Hinsdale 1972, S. 21 f. und S. 176178; S.M. Tiniç und R.R. West, a.a.O., S. 2 f.;
C.W. Haley und L.D. Schall, The Theory of Financial Decisions, 2. Aufl., Auckland u.a. 1981, S. 279–281.
“Auf dem Kassamarkt” bedeutet in dieser Arbeit, daß der Devisenkassakurs — und nicht der Devisenterminkurs — bei der Bewertung von Devisenoptionen mit einbezogen wird.
Die Ausführungen der Wertgrenzen eines Devisencall in den nächsten zwei Abschnitten basieren auf den Untersuchungsergebnissen von Aktienoptionen. In Anlehnung an u.a. R.C. Merton, Theory of Rational Option Pricing, a.a.O., S. 143 f.; C.W. Smith Jr., a.a.O., S. 7–9; R.M. Bookstaber, a.a.O., S. 23–30; T.E. Copeland und J.F. Weston, Financial Theory and Corporate Policy, a.a.O., S. 239–245; J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 129–132; H. Schmidt, Wertpapierbörsen: Strukturprinzip, Organisation, Kassa- und Terminmärkte, a.a.O., S. 79 f.; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 59–62.
Siehe Fußnote 15) bezüglich “Wert und Preis” auf S. 6 in Kapitel I.
Siehe ebenda.
Soweit nichts anders angegeben ist, bedeutet eine Linie in dieser Arbeit immer eine Gerade.
Der Grund, warum bei d > f Punkt X’ links von Punkt X liegt, wird erst nach der Behandlung der dritten Wertuntergrenze eines amerikanischen Call St-X im nächsten Abschnitt erklärt. Punkt X ist der Schnittpunkt zwischen der (St-X)-Linie und der Abszisse.
Der Arbitrageur erhält für die Basiswährungsanlage den Rückzahlungsbetrag in Einheiten der Basiswährung: e-fτ •efτ = e° = 1. Zur kontinuierlichen Verzinsung vgl. u.a. J.F. Weston und T.E. Copeland, Managerial Finance, 8. Aufl., Chicago u.a. 1986, S. 92–98;
E. Caprano und A. Gierl, Finanzmathematik, 5. überarb. Aufl., München 1992, S. 32 f.
In dieser Arbeit entspricht ein Zahlungsüberschuß lediglich einer Zahlung oder einer Nettozahlung bei der Auflösung eines Portfolio. Der Zahlungsüberschuß kann positiv, negativ oder null sein. Beim Arbitrageargument sind jedoch nur positive Zahlungsüberschüsse oder Zahlungsüberschüsse von null zulässig.
In der folgenden Zahlungstafel (Tabelle T1) wird dieser Vorgang mit (-ST+X) +ST bezeichnet: Der Arbitrageur bekommt am Verfalltag für die Basiswährungsanlage eine Basiswährungseinheit, die er gleich zu ST verkauft. Gleichzeitig kauft er eine Basiswährungseinheit für ST und liefert sie dem Inhaber des Call gegen X Einheiten der Heimwährung. Das Ergebnis ist dasselbe, er erhält insgesamt einen Zahlungsüberschuß von X. Von dieser Bezeichnungsweise wird auch in einigen folgenden Zahlungstafeln in Kapitel II Gebrauch gemacht.
Ist e = natürliche (Euler’sche) Zahl, so gilt für ex folgendes: mit x > 0: ex > 1, mit x = 0 : ex = 1 und mit x < 0 : ex < 1.
Nach Annahme d) des positiven Zinssatzes ist f = 0 ausgeschlossen. Hier wird lediglich eine mathematische Beziehung graphisch dargestellt.
Diese Tatsache läßt sich auf Aktienoptionen übertragen. Wenn man den Dividendensatz als Basiswährungszinssatz betrachtet, so dreht sich die Wertobergrenze eines europäischen Aktiencall (Abbildung Al) bei zunehmendem Dividendensatz f und/oder bei zunehmender Restlaufzeit τ um den Ursprung O nach rechts. Da ct = Ste-fτ bzw. Ct = St die Wertobergrenze eines europäischen bzw. amerikanischen Aktiencall darstellt (hier ct bzw. Ct = Wert eines europäischen bzw. amerikanischen Aktiencall, St = Kassaaktienkurs und f = kontinuierlicher Dividendensatz der zugrundeliegenden Aktie), läßt sich der Wert eines europäischen Aktiencall von oben stärker begrenzen als der eines amerikanischen. Das ist bis jetzt in der Literatur nicht erwähnt worden. Vgl. hierzu z.B. R.M. Bookstaber, a.a.O., S. 26 f.; J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 129–132; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 59–62.
Eine Option, die man nie ausüben kann, hat auch keinen Wert. In der Literatur werden nur drei Auswirkungen der Restlaufzeit auf den Wert einer Option aufgeführt. Cox und Rubinstein weisen z.B. darauf hin, daß ein längerer Zeitraum größere Kassakursschwankungen ermöglicht und stär- kere Diskontierungen des Kassa- und des Basiskurses verursacht. Sie übersehen aber diese vierte zeitraumbedingte Auswirkung der Restlaufzeit auf den Wert einer europäischen Option. Vgl. hierzu J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 34–37.
Der Arbitrageur erhält für die Heimwährungsanlage den Rückzahlungsbetrag Xe-dτ • edτ = X.
Siehe Zweitmarktgeschäft bei der Ableitung der Wertobergrenze eines europäischen Call auf S. 25 in diesem Abschnitt.
Siehe Steigung der Wertobergrenze eines europäischen Call in diesem Abschnitt. Die Steigung der beiden Wertgrenzen — e-fτ — ist gleich.
Die Optionsparameter von Devisenoptionen sind St, d, f, τ, X und die Volatilität (des Kassakurses) der Basiswährung. Die Optionsparameter von Devisenoptionen werden in Kapitel IV und Kapitel V behandelt.
Siehe Darstellung von Abbildung Al auf S. 23, letzter Abschnitt.
Da die vorzeitige Ausübung bei den europäischen Optionen nicht möglich ist, existiert der Ausübungswert bei europäischen Devisenoptionen nicht. Der Ausübungswert ist jedoch in dieser Arbeit nicht mit dem “Wert der vorzeitigen Ausübung” zu verwechseln. Der Wert der vorzeitigen Ausübung ist der Wertunterschied zwischen einer europäischen und einer amerikanischen Devisenoption. Der Wert der vorzeitigen Ausübung wird später in diesem Kapitel behandelt.
Siehe Ableitung der zweiten Wertuntergrenze eines europäischen Call auf S. 27, letzter Abschnitt.
Siehe ebenda.
Siehe Abbildung Al auf S. 23, letzter Abschnitt.
Da alle Transaktionen in der Gegenwart stattfinden, hat die Arbitrage hier keinen Zeithorizont (Zeitpunktarbitrage). Zukünftige Zustände der Welt und Zahlungsüberschüsse bei der Auflösung eines Portfolio spielen nur bei “Zeitraumarbitrage” eine Rolle.
Siehe Steigung der Wertobergrenze eines amerikanischen Call in diesem Abschnitt. Die Steigung der beiden Wertgrenzen ist 45°.
In Anlehnung an G. Gemmill, A Primer on the Pricing of Options on Currencies and Short-Term Interest Rates, in: The City University of London Business School Working Paper Series, Nr. 72 (1985), S. 1–32, hier: S. 10–12.
Hier wird unterstellt, daß τ > 0.
Die Ausführungen der Wertgrenzen eines Devisenput in den nächsten zwei Abschnitten basieren auf den Untersuchungsergebnissen von Aktienoptionen. In Anlehnung an u.a. R.C. Merton, Theory of Rational Option Pricing, a.a.O., S. 158; C.W. Smith Jr., a.a.O., S. 33; R.M. Bookstaber, a.a.O., S. 35; J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 145–147; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 65–67.
Der Grund, warum bei d < f Punkt X’ rechts von Punkt X liegt, wird erst nach der Behandlung der dritten Wertuntergrenze eines amerikanischen Put X-St im nächsten Abschnitt erklärt. Punkt X ist der Schnittpunkt zwischen der (X-St) -Linie und der Abszisse.
Nach Annahme d) des positiven Zinssatzes ist d = 0 ausgeschlossen. Hier wird lediglich eine mathematische Beziehung graphisch dargestellt.
Bei d > 0 läßt sich der Wert eines europäischen Put deshalb von oben stärker begrenzen als der eines amerikanischen. Die Wertobergrenze eines amerikanischen Put Pt = X wird im nächsten Abschnitt behandelt.
Eine europäische Option — Call oder Put -, die man nie ausüben kann, ist wertlos. Siehe Wertobergrenze eines europäischen Call auf S. 26 in diesem Unterkapitel.
Siehe Schnittpunkt zwischen der zweiten Wertuntergrenze und der Abszisse bei einem Call auf S. 30 und auf S. 39 in diesem Unterkapitel sowie bei einem amerikanischen Put im nächsten Abschnitt.
Siehe Darstellung von Abbildung A5 auf S. 46, letzter Abschnitt.
Für die Anlage gilt ed(t*-t) als der Aufzinsungsfaktor mit der Aufzinsungsperiode t*-t.
Solange d > 0, gilt ed(t*-t) _1 > 0.
Für die Anlage gilt nun edt als der Aufzinsungsfaktor mit der Aufzinsungsperiode τ.
Solange d > 0, gilt edτ-1 > 0.
Siehe Ableitung der zweiten Wertuntergrenze eines europäischen Put auf S. 48, letzter Abschnitt.
Siehe ebenda.
Siehe Abbildung A5 auf S. 46, letzter Abschnitt.
Siehe Steigung der zweiten Wertuntergrenze eines amerikanischen Put in diesem Abschnitt.
In Anlehnung an G. Gemmill, a.a.O., S. 13–15.
Siehe Schnittpunkt X’ eines europäischen Put und die dazu gehörende Fußnote auf S. 51, letzter Abschnitt.
Hier wird unterstellt, daß τ > O.
Es handelt sich auch um zwei Optionen, wobei die Heimwährung einer Option die Basiswährung der anderen ist und umgekehrt.
In einer Optionsserie befinden sich Optionen derselben Art mit demselben Basiskurs und derselben Laufzeit.
Die Ausführungen der Wertrestriktionen von Devisencalls in den nächsten zwei Abschnitten basieren auf den Untersuchungsergebnissen von Aktienoptionen. In Anlehnung an u.a. R.C. Merton, Theory of Rational Option Pricing, a.a.O., S. 146 f.; R.M. Bookstaber, a.a.O., S. 25 f.; J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 133–138; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 62–64.
Weil es sich um dieselbe Basiswährung handelt, sind für die beiden sonst identischen Calls die Parameter — d, f und St — gleich.
Eine Optionsstrategie, bei der man in der Erwartung einer bestimmten Kursentwicklung einen Call (Put) kauft und gleichzeitig einen sonst identischen Call (Put) mit einem unterschiedlichen Basiskurs verkauft, wird als die “Vertical-Spread” oder die “Money-Spread” bezeichnet. Vgl. hierzu J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 12–16.
Siehe Ableitung der ersten Wertrestriktion von europäischen Calls und die dazu gehörende Definition eines sonst identischen Call auf S. 67, letzter Abschnitt.
Siehe ebenda.
Berücksichtigt man das Zweitmarktgeschäft mit Nebenbedingungen, so sind weitere Zustände der Welt möglich. Im Zeitpunkt t* gelten C(X1) * und C(X2) * als die Preise der beiden amerikanischen Calls. Bei S* ≤ X2 wird C (X2) * nicht ausgeübt. Wenn C(X1) * Z C (X2) * (Nebenbedingung), so kann der Arbitrageur durch den Verkauf von C(X1) * und den Kauf von C(X2) * die Arbitrage abschließen. Sein Zahlungsüberschuß beläuft sich auf C(X1) *-C(X2) * oder null. Wenn X1 < S* ≤ X2 und S*-X1 Z C(X2) * (Nebenbedingung), so kann er C(X1) * ausüben und C (X2) * zurückkaufen. Sein Zahlungsüberschuß beläuft sich dann auf S*-X1-C(X2) * oder null. Das Zweitmarktgeschäft wird hier als Beispiel dargestellt.
Siehe Ableitung der dritten Wertrestriktion von europäischen Calls auf S. 70, letzter Abschnitt.
Siehe Ableitung der dritten Wertrestriktion von europäischen Calls auf S. 70, letzter Abschnitt.
Eine Optionsstrategie, bei der man in der Erwartung einer bestimmten Kursentwicklung einen Call (Put) kauft und gleichzeitig einen sonst identischen Call (Put) mit einer unterschiedlichen Restlaufzeit verkauft, wird als die “Horizontal-Spread”, die “Time-Spread” oder die “Calendar-Spread” bezeichnet. Vgl. J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 12 f. Die “Diagonal-Spread” stellt die Mischform zwischen der Vertical-Spread (siehe Fußnote 5 auf S. 67, letzter Abschnitt) und der Horizontal-Spread dar, wobei die beiden in die Strategie mit einbezogenen Calls (Puts) sich sowohl durch Restlaufzeiten als auch durch Basiskurse unterscheiden. Spreads spielen eine wichtige Rolle im Optionshandel. Zur detaillierten Behandlung von Spreads seien interessierte Leser auf McMillan verwiesen: Vgl. hierzu L.G. McMillan, Options as a Strategic Investment, 3. Aufl., New York 1993, S. 151–222 und S. 309–340.
Da die vorzeitige Ausübung bei europäischen Optionen vor Optionsablauf nicht möglich ist, gilt dieses Argument nicht für europäische Calls. Bedenkt man, daß bei der unendlichen Restlaufzeit der Wert eines europäischen Call auf null fällt (siehe Wertobergrenze eines europäischen Call und die dazu gehörende Fußnote auf S. 26 im letzten Unterkapitel), so läßt sich die vierte Wertrestriktion auf europäische Calls nicht übertragen.
Die Ausführungen der Wertrestriktionen von Devisenputs in den nächsten zwei Abschnitten basieren auf den Untersuchungsergebnissen von Aktienoptionen. In Anlehnung an J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 145 f. und S. 148; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 67–70.
Siehe Ableitung der ersten Wertrestriktion von europäischen Puts und die dazu gehörende Definition eines sonst identischen Put auf S. 86, letzter Abschnitt.
Siehe ebenda.
Berücksichtigt man das Zweitmarktgeschäft mit Nebenbedingungen, so sind weitere Zustände der Welt möglich. Im Zeitpunkt t* gelten P(X1) * und P(X2) * als die Preise der beiden amerikanischen Puts. Bei X1 ≤_ S* wird P(X1) * nicht ausgeübt. Wenn P(X1) * ≤ P(X2) * (Nebenbedingung), so kann der Arbitrageur durch den Verkauf von P(X2) * und den Kauf von P(X1) * die Arbitrage abschließen. Sein Zahlungsüberschuß beläuft sich auf P(X2) *-P(X1) * oder null. Wenn X1 ≤ S* < X2 und X2-S* P(X1) * (Nebenbedingung), so kann er P(X2) * ausüben und P(X1) * zurückkaufen. Sein Zahlungsüberschuß beläuft sich dann auf X2-S*-P(X1) * oder null. Das Zweitmarktgeschäft wird hier als Beispiel dargestellt.
Siehe Ableitung der dritten Wertrestriktion von europäischen Puts auf S. 89, letzter Abschnitt.
Siehe ebenda.
Es ist anzumerken, daß bei dieser Arbitrage t < t* < T1 < t** < T2 gilt.
Da vorzeitige Ausübung bei europäischen Optionen vor Optionsablauf nicht möglich ist, gilt dieses Argument nicht für europäische Puts. Be- denkt man, daß bei der unendlichen Restlaufzeit der Wert eines europäischen Put auf null fällt (siehe Wertobergrenze eines europäischen Put und die dazu gehörende Fußnote auf S. 48 im letzten Unterkapitel), so läßt sich die vierte Wertrestriktion auf europäische Puts nicht übertragen.
Wenn das Wertverhältnis mit einer Gleichung beschrieben wird, so ist von “Parität” die Rede.
Vgl. J.O. Grabbe, The Pricing of Call and Put Options on Foreign Exchange, a.a.O., S. 243; L.S. Goodman, S. Ross und F. Schmidt, Are Foreign Currency Options Overvalued? The Early Experience of the Philadelphia Stock Exchange, in: The Journal of Futures Markets, Vol. 5, Nr. 3 (1985), S. 349–359, hier: S. 352;
J. Kloy und J. Welcker, Drei Arten von Währungsoptionen, in: Die Bank, Jg. 17, Nr. 6 (1986), S. 298–302, hier: S. 300–302;
C. Maxwell und N. Gressis, Parity-Based Valuation of Foreign Exchange Options, in: Management International Review, Vol. 26, Nr. 1 (1986), S. 45–55, hier: S. 46–48.
Dieser Zahlungsüberschuß kann positiv, negativ oder null sein. Auf den Begriff “Hedgeportfolio” wird später noch näher eingegangen. 4) Der Aufbau einer Plusposition (Minusposition) eines Finanztitels bzw. der Kauf (Verkauf) des Titels bedingt eine Auszahlung (Einzahlung) bzw. eine negative (positive) Zahlung. Es ist anzumerken, daß eine Plusposition stets eine negative Zahlung erfordert und umgekehrt. Die Plusposition eines Portfolio besteht aus den Plus- und Minuspositionen der einzelnen Finanztitel des Portfolio — der Portfoliokomponenten. Der Erwerb einer Plusposition eines Portfolio bedingt i.d.R. eine Nettoeinzahlung. Die Minusposition des Portfolio besteht dann aus den umgekehrten Komponentenpositionen mit den entgegengesetzten Zahlungen der Plusposition des Portfolio.
Siehe Wertobergrenze eines europäischen Call auf S. 42 im lezten Unterkapitel.
Siehe Wertobergrenze eines europäischen Put auf S. 63 im lezten Unterkapitel.
Wegen der Ungleichung ist der Fall pt = Xe-dτ = Wertobergrenze ausgeschlossen. ct = Ste-fτ ist jedoch zulässig.
Berücksichtigt man das Zweitmarktgeschäft, so ist das vorzeitige Abschließen der Arbitrage möglich. Wenn Ste-fτ-ct Z Xe-dτ-pt, so kann der Arbitrageur durch den Kauf des Call, die Zurückzahlung des Kredits, den Verkauf des Put und den Verkauf der Anlage seine Positionen glattstellen. Sein Zahlungsüberschuß beläuft sich dann auf Ste-fτ-ct-Xe-dτ+pt oder null.
Wegen der Ungleichung ist der Fall ct = Ste-fτ = Wertobergrenze ausgeschlossen. pt = Xe-dτ ist jedoch zulässig.
Neben den beiden in Unterkapitel 1 beschriebenen ausgeschlossenen Fällen der Arbitragemöglichkeiten (siehe Fälle i) und ii) auf S. 17), gibt es noch einen dritten Fall, den einige Autoren verwenden, um die Put-Call-Parität von europäischen Optionen auszuarbeiten. Er lautet: iii) Es existieren Finanztitel oder Portfolios, die zu einem künftigen Zeitpunkt in jedem Zustand der Welt zu einem bestimmten Zahlungsüberschuß (entweder positiven oder negativen) führen, die jetzt aber eine Nettozahlung bedingen, welche dem mit dem risikolosen Heimwährungszinssatz abgezinsten Überschuß mit dem umgekehrten Zahlungsvorzeichen entspricht. M.a.W. : Beträgt der Zahlungsüberschuß eines Finanztitels bzw. eines Portfolio nach τ Perioden mit Sicherheit +X (-X), so muß die gegenwärtige Nettoauszahlung (Nettoeinzahlung) für den Erwerb dieses Finanztitels bzw. Portfolio, um Arbitragemöglichkeiten auszuschließen, genau -Xe-dτ (+Xe-dτ) sein. Hier handelt es sich also um ein risikoloses Hedgeportfolio mit einem positiven (negativen) Zahlungsüberschuß. Vgl. u.a. T.E. Copeland und J.F. Weston, Financial Theory and Corporate Policy, a.a.O., S. 238 f.; H. Schmidt, Wertpapierbörsen: Strukturprinzip, Organisation, Kassa- und Terminmärkte, a.a.O., S. 77 f. Auf diesen Weg ist der Verfasser nicht gegangen.
Siehe zweite Wertuntergrenze eines europäischen Call auf S. 42 im letzten Unterkapitel. Es gilt: ct = (Ste- f t -Xe-dτ) +pt.
Siehe zweite Wertuntergrenze eines europäischen Put auf S. 63 im letzten Unterkapitel. Es gilt: pt = (Xe-dτ _Ste-fτ) +ct. •
Die Grenzfälle a) und b) sind von der Annahme des positiven Zinssatzes ausgeschlossen. Hier werden nur zwei mathematische Beziehungen dargestellt. Zu den Grenzfällen d), e) und f) vgl. J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 116.
Betrachtet man f als den Dividendensatz einer Aktie, so lautet die Put-Call-Parität von europäischen Optionen auf die dividendenlose Aktie folgendermaßen: ct-pt = St-Xe-dτ, wobei St = Kassakurs der Aktie. Das entspricht dem Untersuchungsergebnis in der Literatur. Vgl. u.a. C.W. Smith Jr., a.a.O., S. 32 f.; R.M. Bookstaber, a.a.O., S. 34 f.; T.E. Copeland und J.F. Weston, Financial Theory and Corporate Policy, a.a.O., S. 238. f.
Die Ausführungen des Put-Call-Verhältnisses von amerikanischen Devisenoptionen in diesem Abschnitt beziehen sich auf Literaturangaben über Put-Call-Verhältnisse von Aktienoptionen und von Optionen auf Objekte mit positivem Eigenzins. Vgl. J.C. Cox und M. Rubinstein, Options Markets, a.a.O., S. 151–154; H.R. Stoll und R.E. Whaley, a.a.O., S. 36–39; R.E. Whaley, On Valuing American Futures Options, in: Financial Analysts Journal, Vol. 42, Nr. 3 (1986), S. 49–59, hier: S. 51 f. und S. 54; P. Ritchken, a.a.O., S. 87 f.; H. Schmidt, Wertpapierbörsen: Strukturprinzip, Organisation, Kassa- und Terminmärkte, a.a.O., S. 78 f.
Siehe Wertobergrenze eines amerikanischen Call auf S. 42 im letzten Unterkapitel.
Siehe Wertobergrenze eines amerikanischen Put auf S. 63 im letzten Unterkapitel. 1) Siehe Put-Call-Parität von europäischen Optionen auf S. 119 in diesem Unterkapitel.
Die internationalen Put-Call-Paritäten werden auch direkt oder mit Zahlenbeispielen hergeleitet. Vgl. I. Giddy, Foreign Exchange Options, a.a.O., S. 151; J.O. Grabbe, The Pricing of Call and Put Options on Foreign Exchange, a.a.O., S.243 f. und S. 252 f.; J.O. Grabbe, International Financial Markets, New York u.a. 1986, S. 129. Um die wissenschaftliche Argumentationslinie beizubehalten, stellt der Verfasser jedoch die internationalen Put-Call-Paritäten mit dem Arbitrageargument dar.
Heimwährungscalls und -puts werden in diesem Abschnitt als die in Heimwährung quotierten und verrechneten Devisenoptionen definiert, jede bezieht sich auf eine Einheit der Basiswährung. Dagegen werden Basiswährungscalls und -puts in Basiswährung quotiert und verrechnet, jeder bezieht sich auf eine Einheit der Heimwährung.
Der Basiskurs X in Heimwährung pro Einheit der Basiswährung ist der gleiche Kurs wie der Basiskurs X-1 in Basiswährung pro Einheit der Heimwährung. Der Kurs z.B. von $2 pro Pfund Sterling und der Kurs von £2-1 = £0. 50 pro Dollar sind identisch. Aus demselben Grund ist der Kassakurs für die sonst identischen Basiswährungsoptionen St-1 (Einheiten der Basiswährung pro Einheit der Heimwährung).
Die internationalen Put-Call-Paritäten von Devisenoptionen sind nicht mit den “internationalen Put-Call-Identitäten” von Devisenoptionen zu verwechseln. Die internationalen Put-Call-Identitäten gelten ebenfalls für europäische sowie für amerikanische Optionen. Sie besagen: Der Wert eines Heimwährungscall (Heimwährungsput) auf eine Einheit der Basiswährung mit dem Basiskurs X entspricht dem Wert eines Basiswährungsput (Basiswährungscall) auf X Einh eiten der Heimwährung mit derselben Restlaufzeit und dem Basiskurs X-1. Das Recht z.B. ein Pfund Sterling zu $2 zu kaufen (Basiskurs = $2/£) ist dasselbe wie das Recht $2 für £1 zu verkaufen (Basiskurs = £0. 50/$). Da es sich eigentlich um dieselbe Option handelt, ist hier von “Identität” und nicht von “Parität” die Rede. Dieser Unterschied wird auch von Grabbe erwähnt. Vgl. J.O. Grabbe, The Pricing of Call and Put Options on Foreign Exchange, a.a.O., S. 252 f.
Die internationalen Put-Call-Paritäten lassen sich einfacher anhand eines Zahlenbeispiels darstellen. Zunächst betrachtet man die Gleichung c (X) = StXp(X-1) mit X = 2 ($2/£) und X-1 = 2-1 = 0. 5 (£0. 5/$). c (X) bezeichnet den Preis des Heimwährungscall in Dollar, der seinen Inhaber dazu berechtigt, £1 zu $2 zu kaufen bzw. $2 zu £1 zu verkaufen. p(X-1) bezeichnet den Preis des Basiswährungsput in Pfund Sterling, der seinen Inhaber dazu berechtigt, $1 zu £0. 5 zu verkaufen. 2.p3(X-1) ist dann der Preis für zwei Basiswährungsputs, die zusammen den Inhaber $2 zu £1 zu verkaufen berechtigen. Der Inhaber von c (X) und der Inhaber von 2.p(X-1) bzw. Xp(X-1) besitzen also dasselbe Recht und müssen deshalb denselben Preis haben. Da Xp(X-1) in Basiswährung (£) verrechnet ist, muß es mit dem Kassakurs St in Heimwährung ($) umgerechnet werden. Es gilt infolgedessen c (X) = StXp(X-1).
Siehe Fußnote 4) bezüglich des Basiskurses in Heim- und in Basiswährung in diesem Abschnitt. Es läßt sich beim Kassakurs in Heim- und in Basiswährung dieselbe Folgerung ziehen. Eine Steigerung des Kassakurses des Pfund Sterlings (Basiswährung) von $2 auf $2. 50 pro Pfund bedeutet einen Rückgang des Kassakurses des Dollars (Heimwährung) von £0. 50 = £2-1 auf £0. 40 = £2. 50-1 pro Dollar.
Zum Hedgeportfolio mit Zahlungsüberschuß von null siehe auch die Formelableitung der Put-Call-Parität von europäischen Optionen auf S. 105 in diesem Unterkapitel.
Der Arbitrageur verkauft X Einheiten von 8 (X-1) und kauft p(X). Da er die genau umgekehrten Optionspositionen im Vergleich zum Hedgeportfolio einnimmt, kehren sich die Vorzeichen aller Zahlungen in Tabelle T27 um, und sein Zahlungsüberschuß bei Optionsablauf bleibt unverändert bei null.
Siehe Fußnote 5) bezüglich der internationalen Put-Call-Identitäten von Devisenoptionen auf S. 121, letzter Abschnitt.
Siehe Ableitung des ersten Teils der internationalen Put-Call-Parität von europäischen Optionen auf S. 121, letzter Abschnitt.
Tabelle T28 zeigt die Zahlungsüberschüsse von null der Plusposition des Hedgeportfolio. Bei der Minusposition kehren sich die Vorzeichen aller Zahlungen in Tabelle T28 um, und sein Zahlungsüberschuß bei Optionsablauf bleibt unverändert bei null.
Siehe Ableitung des zweiten Teils der internationalen Put-Call-Parität von europäischen Optionen auf S. 124, letzter Abschnitt.
Dieses Recht ist bei Devisenoptionen in zwei speziellen Fällen ohne Wert: Der Basiswährungszinssatz entspricht null (f = 0) im Fall von Calls und der Heimwährungszinssatz entspricht null (d = 0) im Fall von Puts. Auf die zwei Fälle wird in Kapitel V genauer eingegangen.
Die Existenz der Werte der vorzeitigen Ausübung ist aus dem folgenden Beispiel zu sehen: Vor Optionsablauf hat der Kassakurs der Basiswährung eines Devisencall weit über dem Basiskurs des Call gelegen. Am Verfalltag fällt der Kassakurs aber unter den Basiskurs. Ist der Call amerikanischen Typs, so konnte sein Inhaber ihn vor Optionsablauf mit einem Gewinn ausüben. Ist der Call europäischen Typs, so verliert sein Inhaber die Optionsprämie. Analog gilt es für den Wert der vorzeitigen Ausübung von Devisenputs.
In der Literatur geht man davon aus, daß ein amerikanischer Call aufgrund seiner Flexibilität wertvoller ist als ein sonst identischer europäischer. Vgl. u.a. R.C. Merton, Theory of Rational Option Pricing, a.a.O., S. 143; R.M. Bookstaber, a.a.O., S. 29; T.E. Copeland und J.F. Weston, Financial Theory and Corporate Policy, a.a.O., S. 241 und S. 243; J. Welcker und J.W. Kloy, Professionelles Optionsgeschäft, a.a.O., S. 136. Der Verfasser wird die Verhältnisse zwischen europäischen und amerikanischen Devisenoptionen mit dem Arbitrageargument in diesem Abschnitt ausarbeiten.
Berücksichtigt man das Zweitmarktgeschäft, so ist ein positiver Zahlungsüberschuß möglich. Wenn C* > c*, kann er die Arbitrage abschließen, indem er C* verkauft und c* zurückkauft. Er erhält dann einen Zahlungsüberschuß von C*-c*. Berücksichtigt man auch das Ausübungsrecht, so ist ein positiver Zahlungsüberschuß ebenfalls möglich. Wenn S*-X > c*, kann er die Arbitrage abschließen, indem er den im Geld stehenden amerikanischen Call ausübt und c* zurückkauft. Er erhält dann einen Zahlungsüberschuß von S*-X-c*.
Wie im Fall der Calls kann er einen positiven Zahlungsüberschuß erhalten, wenn P* > p* oder X-S* > p*.
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Fong, L.W. (1996). Werteingrenzung von Devisenoptionen. In: Werteingrenzung und Bewertung von Devisenoptionen. Schriftenreihe des Instituts für Geld- und Kapitalverkehr der Universität Hamburg, vol 13. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-99362-5_2
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