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Entwicklungen und Anwendungen der Duration

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Duration

Part of the book series: OIKOS · Studien zur Ökonomie ((SÖ,volume 24))

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Zusammenfassung

Das bisherige Vorgehen, in dessen Verlauf nach der Diskussion des Zinsänderungsrisikos das Durationskonzept entwickelt und daraus die Durationsstrategie für Wertpapierportefeuilles abgeleitet wurde, unterscheidet sich in einem wesentlichen Punkt von einem Großteil der in der Literatur zur Duration vorzufindenden Beiträge116 In diesen wird zumeist sofort und vor der Behandlung einer bestimmten Thematik das Durationsmaß vorgestellt und mehr oder weniger ausführlich auf seine Ursprünge, Anwendungsbereiche und Entwicklungsformen eingegangen. Ziel dieser Arbeit ist es zwar nicht, diese Punkte detailliert zu untersuchen; es erscheint aber wichtig, klarzumachen, daß das Durationsmaß weit mehr bedeutet als die Basis, auf der Strategien zur Immunisierung von Wertpapieren oder Portefeuilles aus ihnen aufgebaut werden, und daß mit der bisher entwickelten Form der Immunisierungsstrategie nur eine, zudem nur unter empirisch und theoretisch unrealistischen Umständen gültige Anlagestrategie dargelegt wurde. Stellt man sich eine Zeitskala vor, auf der sämtliche Entwicklungsstufen des Durationskonzepts angeordnet werden können, so müßte man diese Strategie eher einem frühen Stadium zurechnen.

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Literatur

  1. Vergleichbare Beiträge stellen allenfalls Rudolph (1979) und — mit Abstrichen — Bierwag (1977) dar, der seinem Verfahren zur Ableitung von Strategien gegen das Zinsänderungsrisiko, dem die in Fußnote 68 beschriebene Methode zugrundeliegt, auch Definitionen und Ursprünge der Duration voranstellt.

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  2. In schon zitierten Quellen finden sich Überblicke in Fußnoten bei Bühler (1983), S. 90, Fußnote 14, Bierwag (1977), S. 725, Fußnote 1 mit knappen Erläuterungen; kurze Übersichten geben Rudolph (1981a), S. 27, Fisher/Weil (1971), S. 416 und Reilly/Sidhu (1980), S. 58f.

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  3. Vgl. z.B. Weil (1973), der die Geschichte der Duration bis 1973 zusammenfaßt, und Bierwag/Kaufman/Khang (1978).

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  4. Vgl. z.B. Ingersoll/Skelton/Weil (1978), S. 627ff., die — als eine Art Fortsetzung zu Weil (1973) — die zahlreichen Weiterentwicklungen seit 1973, auf die in den anschließenden Abschnitten noch einzugehen sein wird, diskutieren, um ihrerseits einen weiteren Ansatz vorzuschlagen; vgl. auch Rudolph (1979), S. 195ff., der die Originalquellen des Dura-tionskonzepts skizziert.

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  5. Vgl. Macauly (1938), insbesondere S. 44ff.

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  6. “...it would seem highly desirable to have some adequate measure of longness.” (Macauly (1938), S. 44).

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  7. “Let us use the word duration to signify the essence of the time element in a loan...It is clear that number of years to maturity is a most inadequate measure of duration.” (Macauly (1938), S. 44).

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  8. “future value weighting seems clearly inadmissible”, “the argument for present value weighting seems strong” (Macauly (1938), S. 46f.). Entsprechende Hinweise, daß das Durationsmaß in der heutigen Form auf diese Weise seinen Ursprung einem “Zufall” verdankt, finden sich bei Bierwag/Kaufman /Khang (1878), S. 672 und bei Ingersoll/Skelton/Weil (1978), S. 627.

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  9. Siehe auch die Ausführungen auf S. 15f.

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  10. Vgl. Hicks (1939), insbesondere S. 185ff.

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  11. “The elasticity of this capital value with respect to the discount ratio.”

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  12. “...average period of the stream; for it is the average length of time..., when the times...are weighted by the discounted values of the payments.” (Hicks (1939), S. 186).

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  13. Hicks erklärt diese Merkwürdigkeit — fälschlicherweise — mit der Verrechnung von Zinseszinsen: “This is a consequence of compound interest.” (Hicks (1939), S. 187); die wirkliche Ursache liegt in den unterschiedlichen Dimensionen von Zinssatz r (1/Jahr) und Aufzinsungsfaktor 1+r (1); vgl. hierzu z.B. Rudolph (1979), S. 201.

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  14. Vgl. z.B. Malkiel (1966), S.54, Freund (1970), S. 51 und Van Home (1970), S. 76.

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  15. Vgl. Malkiel (1966), S. 55.

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  16. Vgl. Homer/Leibowitz (1971), S. 51: “...the volatility of any conventional high-grade bond results from the interaction of three factors: maturity, coupon, and the starting level of yields.”

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  17. Vgl. Hopewell/Kaufman (1973), S. 749: “For a given basis point change in market yield, percentage changes in bond prices vary proportionately with duration and are greater, the greater the duration of the bond.”

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  18. Einen empirischen und mathematischen Nachweis für diese zwei Bestimmungsfaktoren, vergleichbar dem von Hopewell/Kaufman (1973), erbringt Yawitz (1977), der auch darauf hinweist, daß die Approximation der Kursänderung gemäß (44) und damit die Verwendung der Duration als Risikomaß nur für additive Änderungen der Zinskurve Gültigkeit hat. In der deutschsprachigen Literatur befaßte sich vor allem Rudolph mit dieser Eigenschaft der Duration; vgl. Rudolph (1981b) und auch Rudolph (1981a), S. 23ff.

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  19. Vgl. auch Bierwag/Kaufman/Khang (1978), S. 673.

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  20. Vgl. Bierwag/Kaufman/Khang (1978), S. 673: “For discount bonds, duration increases with maturity only up to a point and then decreases. Thus for discount bonds with maturities beyond this zenith, the relative change in price could be less the longer the term to maturity.” Dieser “zenith” ist in Abschnitt 3.2.2. angegeben.

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  21. Zu einer ausführlicheren Beschreibung der Zinselastizität von Anleihen vgl. Haugen/Wichern (1974), S. 1230ff.

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  22. Vgl. Yawitz (1977), S. 100, Figur 1, in der je eine Kurve für D und für dA0/A0 in Abhängigkeit von m abgebildet ist, sowie — zur Relation von £ zu m — Haugen/Wichern (1974), S. 1234, Figur 2 und Rudolph (1979), S. 202, Abbildung 2.

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  23. Vgl. Rudolph (1979), S. 201; für Zero-Bonds gilt: ε = rm/(1+r), für Anleihen mit c = r: ε = 1 — 1/(1+r)m.

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  24. Näheres siehe Abschnitt 5.1.4.

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  25. Eine Definition dieser Größe findet sich bei Reilly/Sidhu (1980), S. 59f.

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  26. Vgl. z.B. Kosiol (1966), S. 161ff.

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  27. Zum mittleren Zahlungstermin existieren, ähnlich wie bei der Duration, etliche synonyme Begriffe, wie etwa “mittlere Verfallzeit” oder “Zeit-zentrum”, den Schneider nach Bouldings “time centre” gebraucht; vgl. Schneider (1968), S. 8f. und Boulding (1936), S. 196ff.

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  28. Zu einer Untersuchung der Beziehung des “Zeitzentrums” zu Hicks “average period” vgl. Frostman (1965), S. 142ff.; Durand (1974) vergleicht das Durations- mit anderen Zeitkonzepten hinsichtlich des Einsatzes in der Kapitalbudgetierung, zu beachten ist seine Definition der Duration (S. 25).

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  29. Vgl. z.B. Blocher/Stickney (1979), die die Brauchbarkeit der Maßzahl Duration als Investitionskriterium demonstrieren.

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  30. Vgl. Hopewell/Kaufman (1973), S. 752: “...it may be more useful to derive yield curves with respect to duration than to maturity.”

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  31. Graphische Darstellungen solcher Zinskurven finden sich bei Van Horne (1978), S. 123 und bei Reilly/Sidhu (1980), S. 67.

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  32. Siehe auch die Bemerkungen in Abschnitt 5.1.1. sowie die in Fußnote 42 genannten Quellen zur Kuponverzerrung.

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  33. Vgl. Macauly (1938), S. 68: “Yields could be corrected by a statistically derived equation relating yield to duration”.

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  34. Das Verfahren wird im einzelnen in Abschnitt 5.2. beschrieben.

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  35. Vgl. Carr/Halpem/McCallum (1974), S. 1287: “...the effects of duration arise from the use of the inappropriate discounting formula...”

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  36. Carr/Halpern/McCallum (1974), S. 1292.

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  37. Vgl. Carr/Halpern/McCallum (1974), S. 1292: “Our technique calculates the forward rates first and then derives the corrected yields to maturity from these” und weiter (S. 1287): “When the correct discounting formula is applied, the duration problem disappears.”

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  38. Beide Zitate aus Carr/Halpern/McCallum (1974), S. 1288.

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  39. Vgl. z.B. Buse (1970), S. 816f.

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  40. Livingston/Caks (1977), S. 186.

    Google Scholar 

  41. Vgl. Livingston/Caks (1977), S. 186f.

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  42. Cox/Ingersoll/Ross (1979), S. 51.

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  43. Siehe Fußnote 37.

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  44. Vgl. Samuelson (1945), S. 16ff.; zu einer kurzen Diskussion dieses Beitrags vgl. Rudolph (1979), S. 202ff.

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  45. Dies stellt den für Banken typischen Fall dar.

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  46. Vgl. Samuelson (1945), S. 19: “Increased rates will help any organization whose average time period of disbursements is greater than the average time period of its receipts.”

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  47. Vgl. Redington (1952), S. 289: “signify the investment of the assets in such a way that the existing business is immune to a general change in interest rates.”

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  48. Vgl. Wallas (1960).

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  49. Grove (1974), S. 697.

    Google Scholar 

  50. Vgl. Grove (1966).

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  51. Vgl. Durand (1957).

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  52. Fisher/Weil (1971) verweisen auf S. 409 explizit darauf, daß ihr Immunisierungstheorem auf einem Vorschlag Redingtons beruht.

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  53. Redingtons Ausführungen gelten nur für sehr kleine Zinsänderungen, dafür beschränkt sich die Durationsstrategie von Fisher/Weil auf Verschiebungen der Zinskurve um eine additive Konstante.

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  54. Vgl. Schmid (1979), S. 711f.

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  55. Weitere Beiträge werden von Ingersoll/Skelton/Weil (1978), S. 629f. genannt.

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  56. Siehe Fußnote 144; vgl. Blocher/Stickney (1979).

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  57. Vgl. Durand (1974); siehe auch Fußnote 143.

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  58. Vgl. Boquist/Racette/Schlarbaum (1975).

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  59. Vgl. Rudolph (1981a), S. 28ff.

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  60. Auf den Nachweis der Konvexität wird an dieser Stelle verzichtet; die Unklarheit in der Argumentation, daß 0 r 1 sowohl als Differentiationsvariable als auch als Konstante beim Nullsetzen auftritt, ändert an der Richtigkeit des Ergebnisses nichts.

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  61. Diese Bezeichnung findet sich z.B. bei Uhlir/Steiner (1983), S. 640.

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  62. Vgl. Fisher/Weil (1971), S. 430 sowie Bierwag/Kaufman (1977), S. 364.; diese bezeichnen das revidierte Durationsmaß mit D2 “to differentiate it from-the Macauly-Hicks definition” (S. 367), die sie mit D1 bezeichnen; sie wollen damit die Tatsache hervorheben, daß bei nichtflachen Zinskurven, aber weiterhin additiven Änderungen die Gewichtungsfaktoren der Einzahlungszeitpunkte nicht mehr Funktionen eines einheitlichen Zinssatzes r (vgl. (25)) sind, sondern Funktionen der “individual one-period discount rates” μ-1rμ (vgl. Bierwag/Kaufman/Khang (1978), S. 674); dieser Umstand kommt in (51) bestens zum Ausdruck.

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  63. Vgl. Uhlir/Steiner (1983), S. 640.

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  64. Die Zinsänderung soll wieder unmittelbar nach t=0 eintreten.

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  65. Bierwag/Kaufman (1977), S. 365; vgl. auch Bierwag (1977), S. 726.

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  66. Für Anleihen ist diese Bedingung stets erfüllt, da für KT gilt (vgl. (7)): KT = C(T) +AT und sowohl C(T) — vgl. (3) — als auch AT — vgl. (4) — konvexe Funktionen von r° sind; dasselbe gilt, wenn C(T) und AT Funktionen von 6 sind; vgl. dazu Bierwag (1977), S. 732. 182 Vgl. Bierwag (1977), S. 739.

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  67. Außer in der Unterstellung stetiger Verzinsung unterscheiden sich diese Verfahren auch dadurch von der hier geschilderten Methode, daß von für Anleihen spezifischen Zahlungsströmen ausgegangen wird und die zu minimierende Funktion ein Quotient aus Endvermögen bei Zinsänderung und Endvermögen bei ursprünglicher Zinskurve ist; vgl. auch Fußnote 68 und die darin zitierte Literatur.

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  68. Vgl. Bierwag/Kaufman (1977), S. 366 und 369f.

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  69. Eine Alternative stellt die Form δrt dar; es ist dann zu beachten, daß die ursprüngliche Zinskurve durch δ = 1 beschrieben wird, was beim Nullsetzen der Ableitung entsprechend berücksichtigt werden muß.

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  70. Eine Herleitung bei stetiger Verzinsung findet sich bei Bierwag (1977), S. 733ff.

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  71. Vgl. Bierwag/Kaufman (1977), S. 367; sie bezeichnen ihr Durationsmaß mit D3 im Unterschied zu D1 (Macauly-Hicks) und D2 (Fisher/Weil); vgl. Fußnote 177.

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  72. Vgl. hierzu Bierwag (1977), S. 735.

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  73. Vgl. Bierwag (1977), S. 736; für flache Zinskurven ist die Bedingung allerdings immer erfüllbar, da D = D gilt.

    Google Scholar 

  74. Vgl. Bierwag (1977), S. 726: “More complex random shifts of the term structure may require diversification among many bonds of differing maturities and coupon rates.”

    Google Scholar 

  75. Vgl. Bierwag/Kaufman (1977), S. 367: “...to attain the optimal bond for immunization for any assumed random shock in interest rates» the investor must choose c and m so that the corresponding measure of duration is equal to the holding period.”

    Google Scholar 

  76. Vgl. Khang (1979), S. 1086.

    Google Scholar 

  77. Khang (1979), S. 1087.

    Google Scholar 

  78. Vgl. Khang (1979), S. 1088; a gibt eine Konstante an.

    Google Scholar 

  79. Vgl. Khang (1979), S. 1089, der den entsprechenden Ausdruck für ln(l+aD) unter der Annahme stetiger Verzinsung ableitet.

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  80. Cox/Ingersoll/Ross (1979), S. 55.

    Google Scholar 

  81. Vgl. z.B. Vasicek (1977), S. 177.

    Google Scholar 

  82. Derartige Gleichungen finden sich bei Vasicek (1977), S. 178, Ingersoll/ Skelton/Weil (1978), S. 637 und Cox/Ingersoll/Ross (1979), S.53; eine vergleichbare Funktion verwendet Dothan (1978), S. 60.

    Google Scholar 

  83. Ein mit Bierwags Durationsmaß für multiplikative Zinsänderungen (vgl.

    Google Scholar 

  84. D) vergleichbares Maß stellt das Ergebnis bei Cox/Ingersoll/Ross (1979), S. 57 dar, die an einem “dynamic duration measurement which will measure risk when multiple shocks may affect the interest rate and the yield curve may change in shape as well as location” (S. 53) interessiert sind.

    Google Scholar 

  85. Vgl. Brennan/Schwartz (1980), S. 406f.

    Google Scholar 

  86. Vgl. den Hinweis von Cox/Ingersoll/Ross (1979), S. 53, Fußnote 7.

    Google Scholar 

  87. Brennan/Schwartz (1980), S. 419.

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  1. Winfried Kempfle
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Kempfle, W. (1990). Entwicklungen und Anwendungen der Duration. In: Duration. OIKOS · Studien zur Ökonomie, vol 24. Gabler Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-99050-1_5

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