Die Fredholmschen Reihen

Zusammenfassung

Ersetzt man die Integralgleichung

$$ \psi x = fx + \int {K\left( {x,\alpha } \right)\psi \,\alpha .\,d\,\alpha } $$

durch das System der linearen Gleichungen

$$ \begin{gathered} \psi {\alpha _{g}} + \sum\limits_{{v = 1}}^{n} {K\left( {{\alpha _{g}},{\alpha _{v}}} \right)\left( {{\alpha _{{v + 1}}} - {\alpha _{v}}} \right)\psi {\alpha _{v}}} \hfill \\ \quad \quad \quad g = 1,2...n \hfill \\ \end{gathered} $$

und löst diese durch Determinanten auf, so wird es plausibel, daß die Integralgleichung in folgender Weise durch die Fred-holmschen Reihen aufgelöst wird:

$$ \begin{gathered} \psi x = fx + \frac{1}{D}\int {D\left( {x,\alpha } \right)f\alpha .d\alpha } , \hfill \\ D\left( {x,\alpha } \right) = {A_{0}}\left( {x,\alpha } \right) - \frac{{{A_{1}}\left( {x,\alpha } \right)}}{{1!}} + \frac{{{A_{2}}\left( {x,\alpha } \right)}}{{2!}} - \cdots , \hfill \\ \quad D = 1 - \frac{{{A_{1}}}}{{1!}} + \frac{{{A_{2}}}}{{2!}} - \frac{{{A_{3}}}}{{3!}} + \cdots \hfill \\ \end{gathered} $$

.