Funktionentheoretische Methoden

Zusammenfassung

Nimmt man bei der Wärmeleitung in einem geraden Stabe, der sich von x = 0 bis x = 1 erstrecke, auf die Verzerrung Kücksicht, bezeichnet durch v die Längsverschiebung irgend eines Punktes des Stabes, durch u die Temperatur desselben, durch t die Zeit, so gelten nach Duhamel und Franz Neumann die Gleichungen

$$ \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = {a^{2}}\frac{{{\partial ^{2}}u}}{{\partial {x^{2}}}} - {b^{2}}\frac{{{\partial ^{2}}v}}{{\partial x\partial t}},\,{c^{2}}\frac{{{\partial ^{2}}v}}{{\partial {x^{2}}}} - p\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 0$$

a, b, c, p sind bei kleinen Verschiebungen Konstante. Die erste Gleichung sagt aus, daß die zeitliche Änderung der Dilatation ∂v/∂x die Temperatur beeinflußt; die zweite, daß die elastische Kraft ∂ ² v/∂x ² dem Wärmefluß proportional ist. Sind die Enden des Stabes frei oder werden sie festgehalten, so hat man die eine oder andere der Randbedingungen

$$ \frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0,\,v = 0 $$

für u hat man dieselben Randbedingungen wie im ersten und vierten Abschnitt.