Zusammenfassung
In den ersten beiden Abschnitten ist nur von Integralgleichungen die Rede gewesen, bei denen die bilineare Formel gilt; sie wurde entweder durch besondere Untersuchung des Kerns bewiesen oder, wie an einigen Stellen des zweiten Abschnittes, nur plausibel gemacht und vorausgesetzt. Diese Lücken füllen sich durch den Hauptsatz der Theorie der symmetrischen Kerne, der von Hilbert und dann nach anderer Methode von Schmidt bewiesen ist und dahin lautet, daß jeder stetige symmetrische Kern mindestens eine Eigenfunktion besitzt.
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Literatur
Als grundlegend für die allgemeine Theorie seien folgende Arbeiten angeführt:
Fredholm, Sur une nouvelle méthode pour la résolution du problème de Dirichlet. Öfversigt af akademiens förhandlingar 57, Stockholm 1900.
Fredholm, Sur une classe d’équations fonctionelles. Acta math. 27, 1903.
Die Theorie der symmetrischen Kerne und besonders die vorliegende Darstellung beruht auf folgenden grundlegenden Arbeiten:
Hilbert, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Erste und zweite Mitteilung. Göttinger Nachrichten, math.-phys. Klasse, 1904. Zusammen mit weiteren Mitteilungen veröffentlicht in einem Buch desselben Titels, Leipzig 1912.
Schmidt, Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener, Dissertation, Göttingen 1905, Math. Annalen 63.
Die Schwarzsehe Ungleichung und die Schwarzsehen Konstanten nach H. A. Schwarz, Über ein die Flächen kleinsten Inhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung. Acta soc. Fennicae 15, 1885. Ges. Math. Abhandlungen 1. Math. Annalen 69, 1910.
Die Besselsche Ungleichung findet sich für den Fall trigonometrischer Funktionen zuerst bei Bessel, Astron. Nachrichten, Bd. VI, 1828. Auch sie kann in eine Gleichung verwandelt werden: Kowalewski, Einführung in die Determinantentheorie § 200. Leipzig 1909.
Mercer, Functions of positive and negative type and their connection with the theory of integral equations. London Phil. Transactions (A) 219, 1909. Kneser, Belastete Integralgleichungen. Rendiconti del circolo mat. di Palermo 38, 1914. J. Schur, Über die Entwicklung einer gegebenen Funktion nach den Eigenfunktionen eines positiv-definiten Kerns. Math. Abhandlungen, H. A. Schwarz gewidmet. Berlin 1914. Carslaw, Functions of positive type and their application to the determination of Green’s functions. Messenger of Math. 501, 1913.
Weyl, Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen. Math. Annalen 71, 1911. Über das Spektrum der Hohlraumstrahlung. Crelles Journal 141, 1912.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Kneser, A. (1922). Allgemeine Theorie der Integralgleichungen mit symmetrischem Kern. In: Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der Mathematischen Physik. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-98737-2_3
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Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
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