Advertisement

Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

  • Richard Dedekind

Zusammenfassung

Der Begriff der ganzen Zahl hat in diesem Jahrhundert eine Erweiterung erfahren, durch welche der Zahlentheorie wesentlich neue Bahnen eröffnet sind; den ersten und wichtigsten Schritt auf diesem Gebiete hat Gauß*) getan, und wir wollen zunächst die Theorie der von ihm eingeführten ganzen komplexen Zahlen wenigstens in ihren wichtigsten Grundzügen darstellen. weil hierdurch das Verständnis der später folgenden Untersuchungen über die allgemeinsten ganzen algebraischen Zahlen gewiß erleichtert wird.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatura

  1. *).
    Theoria residuorum biquadraticorum. 11. 1832. — Vgl. die Abhandlungen von Dirichlet: Recherches sur les formes quadratiques â coefficients et à indéterminées complexes (Creiles Journal, Bd. 24) und Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen (Abh. d. Berliner Akad. 1841).Google Scholar
  2. *).
    Vgl. §§ 16, 176.Google Scholar
  3. **).
    Zur Theorie der komplexen Zahlen (Grelles Journal, Bd. 35).Google Scholar
  4. *).
    Vgl. § 159 der zweiten Auflage dieses Werkes (1871). Dieser Name soll, ähnlich wie in den Naturwissenschaften, in der Geometrie und im Leben der menschlichen Gesellschaft, auch hier ein System bezeichnen, das eine gewisse Vollständigkeit, Vollkommenheit, Abgeschlossenheit besitzt, wodurch es als ein organisches Ganzes, als eine natürliche Einheit erscheint. Anfangs, in meinen Göttinger Vorlesungen (1857 bis 1858), hatte ich denselben Begriff mit dem Namen eines rationalen Gebietes belegt, der aber weniger bequem ist. Der Begriff fällt im wesentlichen zusammen mit dem, was Kr o n eck e r einen Ration Rationalitätsbereich genannt hat (Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. 1882). Vgl. auch die von H. Weber und mir verfaßte Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen (Grelles Journal, Bd. 92, 1882).Google Scholar
  5. *).
    Schon in der dritten Auflage dieses Werkes (1879, Anmerkung auf S. 470) ist ausgesprochen, daß auf dieser Fähigkeit des Geistes, ein Ding a mit einem Ding a’ zu vergleichen, oder a auf a’ zu beziehen, oder dem a ein a’ entsprechen zu lassen, ohne welche überhaupt kein Denken möglich ist, auch die gesamte Wissenschaft der Zahlen beruht. Die Durchführung dieses Gedankens ist seitdem veröffentlicht in meiner Schrift „Was sind und was sollen die Zahlen?“ (Braunschweig 1888); die daselbst angewandte Bezeichnungsweise für Abbildungen und deren Zusammensetzung weicht äußerlich von der hier gebrauchten ein wenig ab.Google Scholar
  6. *).
    Vgl. Dirichlet: Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbrüchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen. (Berliner Monatsberichte, April 1842, oder Dirichlets Werke, Bd. 1, S. 633.)Google Scholar
  7. *).
    Zufolge der allgemeinen Gesetze wr ° ’s = “’s u’r und (` o r m s) w t w r ( w,,w t) müssen diese Koeffizienten gewisse Bedingungen erfüllen, die wir aber hier nicht weiter zn verfolgen brauchen. Vgl. § 159 der zweiten Auflage (1871) dieses Werkes [wiedergegeben unter XLVII] und meinen Aufsatz: Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten komplexen Größen (Nachrichten von der Göttinger Ges. d. W. 1885, S. 141).Google Scholar
  8. *).
    In dieser Bedeutung habe ich das Symbol (B,A) zuerst benutzt auf S. 21 der Literaturzeitung im Jahrgang 18 von Schlömilchs Zeitschrift für Mathematik und Physik (1873).Google Scholar
  9. *).
    Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Mém. de l’Acad. de Berlin, 1770, 1771. — OEuvres de L. Tome III).Google Scholar
  10. **.
    ) Sui les conditions de résolubilité des équations par radicaux (Liouville s Journal, t. XI, 1846).Google Scholar
  11. *).
    In § 161 der zweiten Auflage dieses Werkes (1871) [wiedergegeben unter XLVII], wo der Begriff des Moduls zuerst in die Zahlentheorie eingeführt ist, und ebenso in § 165 der dritten Auflage (1879) war diese Eigenschaft in die Erklärung selbst aufgenommen.Google Scholar
  12. **).
    Diese und die später folgenden Zeichen a + b, a − b usw. habe ich schon benutzt in der Festschrift: Über die Anzahl der Ideal-Klassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers (Braunschweig 1877).Google Scholar
  13. *).
    Hierin bestand die größte Schwierigkeit, welche bei der ersten Begründung der Ideal-Theorie zu überwinden war. Um dieselbe zu würdigen, vergleiche man die zweite und dritte Auflage dieses Werkes [vgl. XLVII und XLIX] und § 23 meiner Schrift Sur la théorie des nombres entiers algébriques (Paris 1877); denn wenn jetzt durch Zuziehung des Satzes VI in § 173 dieser Kardinalpunkt schon im Anfange der Theorie gewonnen wird, so lassen die früheren Darstellungen das Wesen desselben deutlicher erkennen, was für gewisse Verallgemeinerungen der Ideal-Theorie sehr wichtig ist.Google Scholar
  14. *).
    Vgl. meine von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen herausgegebenen Abhandlungen Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Kongruenzen (Bd. 23, 1878) und Über die Diskriminanten endlicher Körper (Bd.29, 1882), ferner die Abhandlung von Stickelberger: Über eine Verallgemeinerung der Kreisteilung (Math. Annalen, Bd. 37).Google Scholar
  15. ***).
    Vgl.§7 meiner Abhandlung Über die Diskriminanten endlicher Körper (Göttingen 1882).Google Scholar
  16. *).
    Vgl. H. Minkowski: Théorèmes arithmétiques (Compte rendu der Pariser Akademie vom 26 Januar 1891); Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen (Crelles Journal, Bd. 107). Aus diesen wichtigen Untersuchungen, welche in weiterer Ausführung demnächst als besonderes Werk (Geometrie der Zahlen) erscheinen werden, geht unter anderem hervor, dali (wenn n>1) die Konstante H kleiner angenommen werden darf als die Quadratwurzel ans dem absoluten Werte der Grundzahl D woraus zugleich folgt, daß D absolut > 1 ist.Google Scholar
  17. *).
    In einem gewissen Umfange ist sie behandelt in meiner Schrift: Über die Anzahl der Ideal-Klassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers (Braunschweig 1877). Vgl. § 187.Google Scholar
  18. **).
    Solche Formen sind zuerst von Lagrange betrachtet in der Abhandlung: Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré. § VI. Mém. de l’Ac. de Berlin. T. XXIII, 1769. (OEuvres de L. T. II, 1868, p. 375.) — Additions aux Élémens d’Algèbre par L. Euler. §IX.Google Scholar
  19. *).
    Vgl. Gauß: D. A. art. 42 und meine Abhandlung: Über einen arithmetischen Satz von Gauß (Mitteilungen d. Deutschen math. Ges. in Prag. 1892).Google Scholar
  20. *).
    Schönemann: Grundzüge einerallgemeinenTheorie der höheren Kongruenzen, deren Modul eine reelle Primzahl ist. § 50. (Crelles Journal, Bd. 31). — Gauß: Disquisitiones generales de congruentiis, artt. 360–367 (Werke, Bd. II, 1863).Google Scholar
  21. *).
    Ein überaus reiches Material findet man in dem Werke von Reuschle: Tafeln komplexer Primzahlen, welche aus Wurzeln der Einheit gebildet sind. 1875.Google Scholar
  22. *).
    Eine erfolgreiche Verallgemeinerung dieses Symbols findet sich in der Abhandlung von H. Weber: Zahlentheoretische Untersuchungen aus dem Gebiete der elliptischen Funktionen (Nachr. v. d. Göttinger Ges. d. W., 18. Janaar 1893).Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1964

Authors and Affiliations

  • Richard Dedekind

There are no affiliations available

Personalised recommendations