Einleitung

Zusammenfassung

Im folgenden soll das Konvergenzverhalten der wichtigsten Jacobi-Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte symmetrischer Matrizen der Ordnung n (n ≥ 2) untersucht werden. Behandelt werden das klassische Verfahren, die zyklischen Verfahren und die zyklischen Schwellenwertverfahren (cyclic methods with thresholds). Für eine große Anzahl zyklischer Verfahren wird ein neuer Konvergenzbeweis gebracht, der im Falle einfacher Eigenwerte sowie in gewissen Fällen auch bei Vorhandensein doppelter Eigenwerte quadratische Konvergenz liefert, wobei gleichzeitig die von A. Schönhage [8] angegebenen Abschätzungskonstanten verbessert werden. Auf einem anderen Wege werden genauere qualitative Aussagen über die Güte der Konvergenz bei allen 3 behandelten Vorgehensweisen im Falle einfacher Eigenwerte abgeleitet, und die Ergebnisse von P. Henrici [2] wesentlich verbessert. Für das klassische und die zyklischen Schwellenwertverfahren wird dieser Weg unter Anwendung eines Hilfssatzes, der über die Lage der Maximalelemente außerhalb der Hauptdiagonale bei symmetrischen Matrizen Auskunft gibt, Aussagen über die Konvergenz bei beliebigem Spektrum ermöglichen. Dabei wird sich zeigen, daß im allgemeinen um so bessere Konvergenz herrscht, je mehr Eigenwerte übereinstimmen. Der Einfachheit halber werden nur symmetrische Matrizen behandelt. Durch geeignete Modifikationen lassen sich die Ergebnisse ohne weiteres auf hermetische Matrizen übertragen.