Ausblick auf Weitere Fragestellungen der Funktionentheorie

Zusammenfassung

Nach 2.2. bzw. 7.2. leistet eine reguläre Funktion mit von Null verschiedener Ableitung eine winkeltreue Abbildung. Damit folgt aus 8.2., daß man jedes Gebiet mit den Eigenschaften A, B, C, D, E bzw. F (einfach zusammenhängendes Gebiet) winkeltreu (konform) auf eine Kreisscheibe abbilden kann. Daher lassen sich zwei beliebige einfach zusammenhängende Gebiete konform aufeinander abbilden, alle einfach zusammenhängenden Gebiete sind — wie man sagt — konform äquivalent. Die Kreisscheibe gehört zu dieser konformen Klasse. Sie kann mithin als Normalform der einfach zusammenhängenden Gebiete aufgefaßt werden. Solche Normalformenprobleme lassen sich auch für allgemeinere Gebiete behandeln. Für mehrfach zusammenhängende Gebiete, das sind Gebiete mit mehreren Randkomponenten, ergeben sich als Normalformen Parallelschlitzgebiete (ein Parallelschlitzgebiet entsteht, wenn aus der Ebene mehrere zueinander parallele Strecken herausgenommen werden). Bezüglich der neueren Entwicklung dieser Untersuchungen vgl. man G. M. Golusin [22], H. Grötzsch [25], H. Grunsky [26], J. A. Jenkins [32], R. Kühnau [41] und U. Pirl [49].