Zusammenfassung
Das im vorangegangenen Kapitel dargestellte Basismodell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) erlaubt die arbitragefreie Bewertung der zur Zeit wichtigsten Grundstrukturen von Kreditderivaten1 mit verschiedensten Spezifikationen innerhalb eines einheitlichen, ratingbasierten Modellrahmens. Die Herleitung der Formeln für die Kreditderivatprämien ist mit relativ geringem mathematischen Aufwand möglich und zur Implementierung des Modells sind nur verhältnismäßig wenig Inputgrößen notwendig. Hierfür muss jedoch zum Teil eine starke Abstraktion von der Realität in Kauf genommen werden. Ziel des nachfolgenden Kapitels 5 ist es, zunächst die Schwächen, im Sinne von Vereinfachungen der Realität, der zeitdiskreten Version des Modells von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) zu analysieren und darauf aufbauend, mögliche Modellerweiterungen vorzustellen, die diese Defizite überwinden.
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Referenzen
Mit Ausnahme von Basketkreditderivaten.
Vgl. Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 485f.). Dass die Rangfolge, ebenso wie die Besicherung, tatsächlich einen erheblichen Einfluss auf die Befriedigungsquote hat, zeigt beispielsweise Moody’s Investors Service (2000, S. 25): Während die durchschnittliche Befriedigungsquote, gemessen als Marktwert des Titels nach eingetretener Insolvenz im Verhältnis zum Nominalwert des Titels, im Zeitraum 1970–1999 einer „senior unsecured“ Anleihe 48,84% betragen hat, lag der entsprechende Wert einer junior subordinated“ Anleihe lediglich bei 19,69%. Eine weitere Untersuchung, die eine Abhängigkeit der Befriedigungsquote von Anleihen von der Rangstellung, der Besicherung und der Branche des Emittenten der Anleihe belegt, stammt von Altman und Kishore (1996).
Vgl. Moody’s Investors Service (2000, S. 25); siehe auch die Übersicht in Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 503).
Vgl. JP Morgan (1997, S. 80).
Die Ursachen für Unterschiede in den Spreads von Anleihen derselben Ratingklasse und identischer Restlaufzeit können, sofern von nicht bonitätsbedingten Faktoren, wie die Liquidität des Titels oder steuerliche Aspekte, abstrahiert wird, sowohl in unterschiedlichen Ausfallwahrscheinlichkeiten als auch in unterschiedlichen Befriedigungsquoten liegen. Die Relevanz der erstgenannten Ursache wird durch das Ergebnis von Kealhofer, Kwok und Weng (1998) gestützt, wonach die individuellen Ausfallwahrscheinlichkeiten auch für Emittenten derselben Ratingklasse stark voneinander abweichen können und es sogar zu Überschneidungen zwischen den Intervallen der emittentenspezifischen Ausfallwahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ratingklassen kommen kann (z.B. aufgrund einer verzögerten Anpassung des Ratings eines Titels durch die Rating-Agenturen nach dem Eintreffen neuer, das Kreditrisiko des Titels betreffender Informationen, die jedoch schon im Marktpreis (und damit im aktuellen Spread) enthalten sind). Vgl. hierzu auch Schwartz (1998) und Düllmann, Uhrig-Homburg und Windfuhr (2000). Des Weiteren gibt es Hinweise darauf, dass sich die Ausfall- und Übergangswahrscheinlichkeiten von Emittenten mit identischem Rating je nach Branche und Heimatsitz unterscheiden (vgl. Nickell, Perraudin und Varotto (2000)).
Vgl. hierzu auch Kapitel 5.2.2.
Auch unter dem realen Wahrscheinlichkeitsmaß P wäre eine Modellierung des Bonitätszustandsprozesses als inhomogene Markov Kette möglich. Zur Schätzung der dann nicht-stationären realen Übergangswahrscheinlichkeiten wäre jedoch ein umfangreicherer Dateninput erforderlich.
Vgl. Kapitel 4.2.2.
Auch Moody’s Investors Service stellt in seinem jährlich erscheinenden Special Comment über historische Ausfallraten von Unternehmen selbst fest, dass die Standardabweichungen sowohl der einjährigen als auch der zehnjährigen kumulativen Ausfallwahrscheinlichkeiten mit abnehmendem Rating steigen. Während die für den Zeitraum 1970–1999 berechnete Standardabweichung der einjährigen Ausfallwahrscheinlichkeiten für die Ratingkategorie Aa 0,1% beträgt, liegt die Standardabweichung für die Ratingkategorie B bereits bei 4,8% (vgl. Moody’s Investors Service (2000, S. 16f)).
Zur Konjunkturabhängigkeit von Übergangsmatrizen vgl. auch Kavvathas (2000).
Vgl. McKinsey & Company (1998), Wilson (1997a, b) sowie Kapitel 6.3.2.
Vgl. Grundke (2000, S. 106f.) sowie Kapitel 6.3.2 für eine schematische Darstellung der Vorgehensweise bei der Konditionierung der Übergangsmatrizen im Kreditportfoliomodell CreditPortfolioViewTM. Inwieweit es im Laufe eines Konjunkturzyklus tatsächlich zu einer systematischen Verschiebung von Wahrscheinlichkeitsmasse innerhalb der Zeilen der Übergangsmatrix in den Bereich von Herab- bzw. Heraufstufungen kommt, scheint jedoch auch von der betrachteten Ratingklasse abhängig zu sein. Nickell, Perraudin und Varotto (2000, S. 214) berichten, dass in den oberen Ratingklassen der Einfluss des Konjunkturzykluses tendenziell eher in einer Veränderung der Volatilität des Ratings liegt: In der Hochkonjunktur nimmt die Wahrscheinlichkeit für eine Ratingveränderung ah und cteigt dann im Ahcchwi no u nd im Tief wierier an
Vgl. die vorherigen Kapitel 5.1.2 und 5.1.3.
Siehe auch das nachfolgende Kapitel 5.1.5 zu den Einflussfaktoren auf den Spread im Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997).
Es gibt jedoch Hinweise darauf, dass das Vorzeichen des Korrelationskoeffizienten vom betrachteten Zeithorizont abhängt und eine Erhöhung des risikolosen Zinssatzes, über einen längeren Zeithorizont hinweg betrachtet, zu einem Ansteigen des Spreads führt (vgl. Neal, Rolph und Morris (2000)).
Die Größe s i (t,T) bezeichnet wie in Kapitel 4.4.3 den Renditespread einer ausfallbedrohten Nullkuponanleihe mit Fälligkeit T im Zeitpunkt t, deren Emittent sich im Zeitpunkt t im Bonitätszustand j ∈ E befindet.
Da die Befriedigungsquote und die risikoneutralisierten Ausfallwahrscheinlichkeiten deterministische Größen und damit unkorreliert mit dem risikolosen Zinssatz sind und, wie Formel (5–1) zeigt, auch keine direkte Abhängigkeit des Spreads vom risikolosen Zinssatz besteht, wird noch einmal deutlich, dass im Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) die Ausprägung des Spreads unabhängig von der des risikolosen Zinssatzes ist.
Vgl. Kapitel 5.1.2 bzw. 5.1.3.
Eine der wesentlichen Ursachen hierfütr dürfte die von den Ratingagenturen angewendete „Through-thecycle“-Ratingmethodik sein.
Vgl. ähnlich Das und Tufano (1996) sowie Duffee (1998).
Markov Ketten höherer Ordnung werden in Kapitel 5.2.2 definiert.
Unter dem äquivalenten Martingalmaß P̃ wird der Bonitätszustandsprozess ebenfalls durch eine Markov Kette (1. Ordnung) modelliert, welche jedoch inhomogen ist, d.h., dass sich die Übergangswahrscheinlichkeiten unter P im Zeitablauf deterministisch verändern.
Vgl. Fahrmeir, Kaufmann und Ost (1981, S. 14).
Weitere Untersuchungen, in denen eine Pfadabhängigkeit des Bonitätszustandsprozesses festgestellt und somit die Annahme, dass dieser durch eine Markov Kette 1. Ordnung adäquat modelliert werden kann, widerlegt wird, stammen beispielsweise von Altman und Kao (1992a,b), Carty und Fons (1993), Bangia, Diebold und Schuermann (2000) und Kavvathas (2000). Zu beachten ist jedoch die teilweise unterschiedliche Definition des Rating-Momentums (vgl. Lando und Skødeberg (2001, S. 14f.)).
Vgl. Arvanitis, Gregory und Laurent (1999, S. 32). Zu weiteren möglichen Faktoren siehe Fußnote 5 in Kapitel 5.1.2.
Vgl. Annahme 5 in Kapitel 4.2.1.
Vgl. Lando (2000a, S. 203f.) sowie Kapitel 4.2.1.
Vgl. Lando (2000a, S. 204).
Vgl. Formel (5–4). Würden noch die Preise anderer Finanztitel, wie z.B. der von Credit Default Swaps mit einer Ratingherabstufung als Kreditereignis (vgl. Kapitel 4.4.1.2), zur Verfügung stehen, könnten auch risikoneutralisierte Übergangswahrscheinlichkeiten in die Nicht-Insolvenzzustände eindeutig berechnet werden (vgl. Lando (2000a, S. 206)).
3o Vgl. Lando (2000a, S. 205). Dieses grundlegende Prinzip gilt für alle nachfolgend beschriebenen Transformationsmethoden.
Vgl. das in Kapitel 4.2.2 beschriebene Iterationsverfahren zur Bestimmung der Adjustierungsfunktionen πi(t) bzw. nachfolgend das lineare Gleichungssystem (5–21). Notwendig dafür, dass die eünschrittigen risikoneutralisierten Ausfallwahrscheinlichkeiten q̃ i,K (t, t + h) tatsächlich eindeutig ermittelt werden können, ist, dass die mehrschrittige risikoneutralisierte Übergangsmatrix Q̃(0, t), die als Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems dient, nicht singulär ist.
Dies gilt insbesondere füll die Credit Default Swaps mit einem Downgrade als Kreditereignis in Kapitel 4.4.1.2. Unabhängig von der gewählten Transformationsvorschrift sind dagegen beispielsweise die in Kapitel 4.4.1.1 berechneten Preise für Credit Default Swaps, bei denen eine Herabstufung in den Insolvenzzustand K als Kreditereignis definiert wurde, da dort lediglich die eindeutig bestimmbaren mehrschrittigen risikoneutralisierten Ausfallwahrscheinlichkeiten in die Bewertungsformeln eingehen. Vgl. auch Lando (2000a, S. 213).
Der Faktor entspricht dem Verhältnis der risikoneutralisierten Überlebenswahrscheinlichkeit in der Periode (t,t + h] zur einschrittigen realen Überlebenswahrscheinlichkeit. Bei Jarrow, Lando und Turnbull (1997) wird stattdessen als Faktor das Verhältnis der entsprechenden Ausfallwahrscheinlichkeiten verwendet (vgl. Formel (5–8)).
Vgl. Kapitel 4.2.2 bzw. das lineare Gleichungssystem (5–21).
Die einjährigen Ausfallwahrscheinlichkeiten q i,K flr sehr gute Ratingklassen sind üblicherweise sehr klein oder sogar gleich null, so dass das Problem negativer Hauptdiagonalelemente in der risikoneutralisierten Übergangsmatrix hier sehr schnell auftreten kann. Da fir den Fall q i,K = 0 die Adjustierungsparameter π1(t)=q i,K (t,t+h)/ q i,K nicht einmal wohldefiniert sind, setzen Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 515) in diesem Fall q i,K = 0, 0001 und führen eine entsprechende Anpassung der Hauptdiagonalelemente der realen Übergangsmatrix durch. Auch bei der Transformationsmethode von Kijima und Komoribayashi (1998) müssen die realen Ausfallwahrscheinlichkeiten (echt) positiv sein, jedoch nicht um die Wohldefiniertheit der Adjustierungsparameter zu gewährleisten, sondern damit das reale und das risikoneutralisierte Wahrscheinlichkeitsmaß äquivalent sind und gleichzeitig eine Anpassung der Modell- an die Marktpreise für Nullkuponanleihen der jeweiligen Ratingklasse möglich ist (vgl. Wei (2000, S. 6), Uhrig-Homburg (2001, S. 62)).
Für ein Beispiel, wie durch diese Bedingung die Menge der durch das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) erklärbaren Spreadhöhen eingeschränkt wird, vgl. Uhrig-Homburg (2001, S. 61).
Im ersten Fall sind alle einschrittigen risikoneutralisierten Übergangswahrscheinlichkeiten in die NichtInsolvenzzustände negativ. Im zweiten Fall sind zwar die einschrittigen risikoneutralisierten Ausfallwahrscheinlichkeiten negativ, nicht jedoch die Übergangswahrscheinlichkeiten in die Nicht-Insolvenzzustände.
Diese strikte Ungleichung gilt nur, sofern zumindest eine Übergangswahrscheinlichkeit vom Zustand i nach j ∈ E\ {i, K) positiv ist. Dies ist bei realen Übergangmatrizen jedoch üblicherweise zu beobachten.
An dieser Stelle wird die auf den zeitdiskreten Fall angepasste Methode dargestellt.
Die untere Wertgrenze für die einschrittige risikoneutralisierte Ausfallwahrscheinlichkeit q̃ i,K (t,t +h) ist wiederum null.
Vgl. Lando (2000a, S. 209ff.) für die analoge Vorgehensweise im zeitstetigen Fall. Die hier für das zeitdiskrete Modell beschriebene Methode wurde erstmals in Lando (1994) und Lando (1998b) im zeitstetigen Fall angewendet (vgl. auch die Kapitel 5.3.1.4 und 5.3.2.2).
Vgl. Holz und Wille (1990, S. 102).
Ein Skalar λ ∈ ℝ heißt Eigenwert von Q ∈ ℝK·K, falls es einen Vektor X ∈ ℝK gibt mit X ≠ 0 und QX = λX. Jeder Vektor X ≠ 0 mit QX = λX heißt Eigenvektor von Q zum Eigenwert A. Die Eigenwerte der Matrix Q entsprechen den Nullstellen des zugehörigen charakteristischen Polynoms p 0 (x):= det(Q-xld). Zur Berechnung der Eigenvektoren ist dann für jede Nullstelle λ von p 0 (x) das homogene lineare Gleichungssystem (Q-λld)X = 0 zu lösen (vgl. Holz und Wille (1990, S. 84ff.)). Da es sich bei Q um eine stochastische Matrix handelt, die Zeilensummen also jeweils eins sind, besitzt Q immer den Eigenwert eins und einen Eigenvektor mit identischen Einträgen, wie z.B. (1,1,…,1)T (vgl. Holz und Wille (1990, S. 86)). O.B.d.A. sei λ K =1 und die K.te Spalte von B gleich dem Einsvektor.
Die mehrschrittige risikoneutralisierte Übergangsmatrix Q(0, t) ist aus den vorangegangenen Iterationsschritten bereits bekannt. Die K.te Spalte der Matrix Q(0, t)Q(0, t + h) ergibt sich als Produkt der Matrix Q(0, t) mit dem durch die K.te Spalte der Matrix Q(0, t + h) gegebenen Vektor.
Da annahmegemäß λK = 1 und b i,K = 1 ∀ i ∈ E gilt und zudem b i,K = 0 ∀ i ∈ E\{K} und b -1 KK = 1 gezeigt werden kann, ist die letzte Spalte der Koeffizientenmatrix gleich dem Einsvektor und die ersten K-2014;1 Einträge in der K.ten Zeile gleich null. Hieraus folgt direkt π K (t ) = 1, so dass effektiv nur K-1 Parameter je Periode zu bestimmen sind.
50 Vgl. Lando (2000a, S. 210).
51 Vgl. Lando (2000a, S. 211). Untersuchungen in Arvanitis, Gregory und Laurent (1999, S. 39f.) für den zeitstetigen Fall scheinen diese (starke) Annahme zu bestätigen.
Da die in Tabelle 2.4 (vgl. Kapitel 2.2.2) skizzierten Ansätze von Thomas, Allen und Morkel-Kingsbury (1998), Wei (2000) und Kodera (2001) als zeitdiskrete Spezialfälle des nachfolgend in Kapitel 5.3 ausfüührlich vorgestellten Modells von Lando (1994, 1998b) interpretiert werden können, wird in Kapitel 5.2 auf eine Darstellung und Diskussion dieser Modelle verzichtet.
Vgl. Das und Tufano (1996, S. 175).
Die stochastische Entwicklung der Terminzinsstrukturen unterschiedlicher Fälligkeiten werden bei Das und Tufano (1996) wie in Kapitel 4.3 beschrieben modelliert.
Das und Tufano (1996) nehmen zunächst an, dass die in den Terminzinsprozessen enthaltene Zufallsvariable X t,1 standardnormalverteilt ist, modifizieren diese Annahme jedoch an späterer Stelle dahingehend, dass unterstellt wird (wie in Kapitel 4.3), dass X t,1 nur die Werte —1 und 1 (mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit) annehmen kann.
Vgl. Das und Tufano (1996. S. 174).
Vgl. Das und Tufano (1996, S. 175).
Vgl. Das und Tufano (1996, S. 175).
Vgl. Das und Tufano (1996, S. 174f.). Diese Modelleigenschaft hatte theoretisch auch im Ansatz von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) erzeugt werden können, indem jedem Emittenten (also auch denen, die sich im gleichen Bonitätszustand befinden) unterschiedliche konstante Befriedigungsquoten zugewiesen werden.
Vgl. Arvanitis, Gregory und Laurent (1999, S. 32). Arvanitis, Gregory und Laurent (1999) betrachten den zeitstetigen Fall; zur Formulierung der Modellidee ist es jedoch unerheblich, ob der zeitdiskrete oder der zeitstetige Modellrahmen zu Grunde gelegt wird.
Vgl. Arvanitis, Gregory und Laurent (1999, S. 32). Der Zustand i-1 ist ein „besserer“ Bonitätszustand als i und dementsprechend i+1 ein „schlechterer“ Bonitätszustand.
Aus der knappen Darstellung bei Arvanitis, Gregory und Laurent (1999, S. 32 bzw. S. 36f.) wird nicht deutlich, ob nur Ratingveränderungen im Intervall (t-h, t] oder aber die letzte Ratingveränderung (unabhängig vom Zeitpunkt, so wie in (5–23)) Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit zukünftiger Bonitätszustandsveränderungen besitzen sollen. Es wird auch nicht spezifiziert, welche Übergangswahrscheinlichkeit Emittenten zugewiesen wird, deren Rating sich noch nicht verändert hat.
Eine Veränderung des Ratings eines Emittenten direkt um mehrere Stufen wird von den Agenturen jedoch nur sehr selten vorgenommen.
Die empirischen Ergebnisse von Lando und Skødeberg (2001) zeigen jedoch, dass sich die Übergangswahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von der Zeit, die seit der letzten Ratingveränderung vergangen ist, signifikant unterscheiden (vgl. auch Kapitel 5.1.7).
Welche Ordnung einer Markov Kette tatsächlich angemessen zur Modellierung des Bonitätsänderungsverhaltens von Emittenten ist, müsste im Rahmen empirischer Untersuchungen geklärt werden. Vgl. beispielsweise Anderson und Goodman (1957, S. 99ff.) für statistische Tests der Hypothese, dass ein Datensatz durch eine Markov Kette mit einer bestimmten Ordnung beschrieben werden kann.
Zum Zwecke einer einheitlichen Schreibweise werden daher auch bei den einschrittigen Übergangswahrscheinlichkeiten vier Indizes zur Benennung von Bonitätszuständen verwendet.
Für diese Ausnahmemenge sind die Zeilensummen gleich null, da dies Bonitätszustandskombinationen sind, die aufgrund der Absorptionseigenschaft des Bonitätszustandes K mit Wahrscheinlichkeit eins ausgeschlossen sind. Daher müssen auch keine risikoneutralisierten Übergangswahrscheinlichkeiten für i und j aus dieser Ausnahmemenge berechnet werden. Zum Zwecke der Vereinfachung der Notation wird jedoch im Folgenden diese Ausnahmemenge nicht jeweils gesondert aufgefüührt.
Mit einem Kreuz sind alle Einträge markiert, die im Allgemeinen von null verschieden sind.
Da dies auch für die mehrschrittigen Übergangswahrscheinlichkeiten gilt, könnten bei den Übergangsmatrizen in diesem Beispiel auch die Zeilen und Spalten mit den Indizes (4,1), (4,2) und (4,3) gestrichen werden, so dass die Matrizen Elemente des W3x13 wären und zudem auch die formale Anforderung an eine stochastische Matrix, dass alle Zeilensummen gleich eins sind, erfüllten.
Vgl. Formel (3.11) in Anderson und Goodman (1957, S. 100).
Zum Beweis siehe den Anhang zu Kapitel 5.
Im Gegensatz zu Kapitel 4.2.1 wird im Folgenden die „Gegenwart“ immer mit dem Zeitpunkt t = h gleichgesetzt; der Zeitpunkt t = 0 liegt somit in der „Vergangenheit“. Diese Konvention ist notwendig, damit überhaupt eine für die Übergangswahrscheinlichkeiten relevante Ratinghistorie zur Verfügung steht.
Bei der Darstellung des Iterationsverfahrens in Kapitel 4.2.2 wurde an dieser Stelle angenommen, dass die einschrittige risikoneutralisierte Übergangsmatrix nicht-singulär ist, so dass ihre Inverse berechnet werden konnte. Eine derartige Annahme wäre hier jedoch aufgrund der besonderen Struktur der Übergangsmatrizen unzulässig. Wie die exemplarische einschrittige Übergangsmatrix) zeigt, steht in jeder Zeile (i, j) mit j = K in den ersten K - K —1 Spalten eine null und in der K × K.ten Spalte eine eins. Dies gilt auch für die mehrschrittigen Übergangsmatrizen. Daraus folgt, dass die Übergangsmatrix in jedem Fall singulär ist und somit ihre Inverse nicht existiert. Dennoch lassen sich die Werte der Adjustierungsfunktionen p(t-1) (t) (i, j E\{K}) eindeutig bestimmen, sofern geeignet definierte Teilmatrizen nicht-singulär sind.
Vgl. die Bemerkung im Anhang zu Kapitel 5.
Diese Annahme erfordert auch die Definition eines zeitstetigen Zinsstrukturmodells; wie im diskreten Fall kann auch hier jedes beliebige arbitragefreie Modell verwendet werden.
Vgl. Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 494). Die Ausfallintensität λ(t)= λη1,K schwankt in diesem Modellrahmen stochastisch in Abhängigkeit vom Bonitätszustand ? Im Gegensatz zu Kapitel 3.3 (und nachfolgend Kapitel 5.3.2) kann sie damit jedoch in jedem Zeitpunkt nur K Werte annehmen.
Vgl. Cox und Miller (1965, S. 180), Karlin und Taylor (1975, S. 152; 1981,. 143f.). Die jeweils komponentenweise zu verstehende Matrix-Differenzialgleichung (5–45) ergibt sich aus einer Anwendung der Gleichungen von Chapman-Kolmogorov und der Definition des infinitesimalen Generators A über den Grenzwert (*).
Vgl. Cox und Miller (1965, S. 182), Karlin und Taylor (1975, S. 152), Norris (1997, S. 62f.).
Jede Komponente (i, j) ∈ E × E der matrixwertigen Potenzreihe (5–46) konvergiert für alle t ∈ ℝ (vgl. Norris (1997, S. 106f.)). Da jede Potenzreihe auf dem ganzen Konvergenzintervall beliebig oft differenzierbar ist und ihre Ableitungen durch gliedweise Differenziation bestimmt werden können (vgl. Heuser (2001, S. 368), Norris (1997, S. 62f.)), ist die obige Berechnung der Ableitung der Komponenten zulässig. Zum Beweis der Eindeutigkeit der Lösung (5–46) siehe Norris (1997, S. 63).
Vgl. auch die Ausführungen zur letzten Transformationsmethode in Kapitel 5.1.7.
Die Matrix ∧ ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom P∧(x) über ℝ in Linearfaktoren zerfällt und für jeden Eigenwert λ von ∧ die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist (zu diesem und weiteren Diagonalisierbarkeitskriterien vgl. Holz und Wille (1990, S. 102)). Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes λ ist hierbei definiert als Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert λ, welche sich als Differenz zwischen der Dimension der Matrix ∧ und dem Rang der Matrix (∧-λ Id) ergibt. Selbst wenn die Matrix A nicht diagonalisierbar sein sollte, besteht die Möglichkeit, dass diese zur größeren Klasse derjenigen Matrizen gehört, die über f eine Jordan-Normalform J besitzen. Dies ist genau dann der Fall, wenn das charakteristische Polynom p ∧ (x) über R in Linearfaktoren zerfällt (zur Jordan-Normalform vgl. Holz und Wille (1990, S. 139ff.)). Aufgrund der besonderen Struktur von JordanNormalformen kann auch für solche Matrizen, ähnlich wie bei diagonalisierbaren Matrizen, der Term exp(J) und damit auch exp(At) explizit berechnet werden.
Vgl. Cox und Miller (1965, S. 183f.), Karlin und Taylor (1975, S. 152).
Da Q(t) als stochastische Matrix lediglich nicht-negative Elemente aufweist und einen nur aus Einsen bestehenden Vektor der Dimension K als Eigenvektor zum Eigenwert eins besitzt, folgt mit Horn und Johnson (1985, Corollary 8.1.30, S. 493), dass der Spektralradius von Q(t) gleich eins und damit definitionsgemäß der Betrag aller Eigenwerte kleiner gleich eins sein muss. Da die Hauptdiagonalelemente exp(d i t) (i ∈ E) der Matrix D̃(t) den Eigenwerten von Q(t) entsprechen, folgt damit: exp(dit)≤1↔d1≤0 Vt€[0,N] die Eigenwerte der Generatormatrix A sind kleiner gleich null (vgl. auch Arvanitis, Gregory und Laurent (1999, S. 31, S. 41)). Da die Zeilensummen von A jeweils null sind, muss einer der Eigenwerte von A gleich null sein (o.B.d.A. sei d K = 0).
Die Bedingungen (5–43) und (5–44) sind für die Elemente der risikoneutralisierten Generatormatrix aufgrund des unterstellten Zusammenhangs (5–47) mit den Elementen der realen Generatormatrix automatisch erfllt
Vgl. Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 495).
Vgl. Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 496), Cox und Miller (1965, S. 181), Rolski, Schmidli, Schmidt und Teugels (1998, S. 346f.). Diese Gleichungen (ebenso wie die Gleichungen (5–45)) werden auch als Rückwärts- bzw. Vorwärts-Kolmogorov-Differenzialgleichungen bezeichnet.
Vgl. Lando (1998b, S. 109). Zur Darstellung der Lösung der Kolmogorov-Differenzialgleichungen im inhomogenen Fall mit Hilfe des Kalküls der Produktintegration vgl. Andersen, Borgan, Gill und Keiding (1993, S. 93). Siehe auch Rolski, Schmidli, Schmidt und Teugels (1998, S. 346ff.) sowie Milbrodt und Helbig (1999, S. 571 ff.).
Vgl. Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 506).
Vgl. Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 506). Diese Anpassung muss auch im zeitdiskreten Fall vorgenommen werden. Zu alternativen Methoden der Eliminierung des Zustandes „Not rated“ vgl. Bangia, Diebold und Schuermann (2000, S. 14).
Vgl. Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 505). Eine Schätzung von ∧ wäre ohne diese Zusatzannahme auf Grundlage der Näherung Q(1)=exp(A1)≈Id+A↔Q(1)-Id (die Potenzreihe bricht nach dem zweiten Summanden ab) möglich. Jarrow, Lando und Turnbull (1997) argumentieren jedoch, dass sich bei ihrer Vorgehensweise eine bessere Übereinstimmung zwischen der historischen Übergangsmatrix und der mit Hilfe der geschätzten Generatormatrix berechneten Übergangsmatrix ergibt. Zur exakten Bestimmung von A im Fall einer diagonalisierbaren realen Übergangsmatrix Q(1) vgl. Schönbucher (2000b, S. 142ff.). Israel, Rosenthal und Wei (2001) zeigen, dass auf Grundlage der Matrix Q(1) jedoch nicht immer die zugehörige Generatormatrix gefunden werden kann bzw. dass diese nicht eindeutig sein muss. Außerdem gehen Israel, Rosenthal und Wei (2001) auf Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung einer Generatormatrix bei gegebener einiährieer Übereanesmatrix 0(1) ein.
Vgl. Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 504), Lando und Skodeberg (2001, S. 6). Beispiele zur Umsetzung dieser Methode finden sich in Henn (1997, S. 64ff.) und Lando und Skodeberg (2001, S. 5ff.).
Vgl. obige Ausführungen zur Lösbarkeit der Kolmogorov-Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferenzialgleichungen (5–50).
Vgl. Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 507).
Dem Vorteil der linearen Näherung (5–54) der risikoneutralisierten Übergangsmatrix Q(t, t + Δt), dass sich die Adjustierungsfunktionen für jedes Zeitintervall als Lösung eines linearen Gleichungssystems ergeben (vgl. Kapitel 4.2.2), steht der Nachteil gegenüber, dass sehr kleine Zeitschritte gewählt werden müssen, um eine hinreichend gute Näherung zu gewährleisten (vgl. Lando (2000a, S. 208)).
Vgl. Lando (1994, S. 81 ff.)
Vgl. Lando (1994, S. 81, S. 83).
Vgl. Lando (1994, S. 82f.).
Da die Zeilensummen der Generatormatrix A gleich null sind, muss auch einer der Eigenwerte gleich null sein. Wird der Wert null dem K.ten Eigenwert d K zugewiesen, so reduziert sich der exp-Term in der letzten Zeile der Matrix N(t,T) zu einer eins (vgl. Lando (1994, S. 55f.)). Da die Eigenwerte d i (i ∈ E) kleiner gleich null sind (vgl. Fußnote 92 in Kapitel 5.3.1.1) und die Funktion ε(t) annahmegemäß positiv ist, sind die Hauptdiagonalelemente der Matrix N(t,T) und damit die Eigenwerte der Matrix Q̃(t,T), wie bei einer stochastischen Matrix notwendig, kleiner gleich eins.
Vgl. Lando (1994, S. 81 ff.).
Vgl. Lando (2000a, S. 209ff.).
In der Definition (5–60) der Matrix N(t,T) ist hierbei der für alle Ratingklassen konstante Integrand ε(t) durch die entsprechenden Terme in der Matrix M(t) auszutauschen.
Ein ähnlicher Ansatz für die risikoneutralisierte Generatormatrix wird auch in Lando (1998b, S. 110f.) für den Fall stochastischer Intensitätsraten gewählt. Im zeitdiskreten Fall wurde beim letzten Beispiel in Kapitel 5.1.7 ebenfalls unterstellt, dass sich die risikoneutralisierte Übergangsmatrix ausschließlich durch eine lineare Modifizierung der Eigenwerte der realen Übergangsmatrix ergibt.
Vgl. Arvanitis, Gregory und Laurent (1999, S. 39f.) zu empirischen Untersuchungen, die diese Annahme zumindest näherungsweise zu bestätigen scheinen.
Für die Zeitpunkte t ∈ [0, N]\I muss eine geeignete Interpolation der Integralfunktion vorgenommen werden.
Vgl. Lando (1994, S. 83).
Vgl. auch Lando (2000a, S. 205) bzw. Kapitel 5.1.7 zur allgemeinen Vorgehensweise bei der Bestimmung der risikoneutralisierten Übergangsmatrizen.
Vgl. Lando (1998b, S. 108) bzw. Kapitel 5.1.3. i
Vgl. Lando (1994, Chapter 3.6).
Vgl. Kapitel 5.1.4.
Eine stochastische Befriedigungsquote (δ t ) t ∈ [0,N ] wird im Folgenden nicht berücksichtigt. Diese könnte jedoch relativ leicht in das Modell integriert werden, sofern sich die Befriedigungsquote δ t unabhängig von den Zustandsvariablen, der risikolosen Zinsstruktur und dem Bonitätszustandsprozess entwickelt oder aber ln eine affine Funktion der Zustandsvariablen ist, also δ t =δ(X t )=ea(t)+b(t)X1 mit deterministischen Funktionen a(t) und b(t) gilt (vgl. Duffle (2001, S. 280f.)).
Vgl. Kapitel 4.4.1.
Vgl. Lando (1998b, S. 108).
Der Index an der Bezeichnung ∧̃ (t) zeigt an, dass die risikoneutralisierte Generatormatrix von der Ausprägung des Vektors der Zustandsvariablen X abhängig ist. Die Definition der risikoneutralisierten Generatormatrix ∧̃ (t) ist pfadweise zu verstehen.
Vgl. Lando (1994, S. 87).
Vgl. Lando (1998b, S. 108f.).
Die exponentialverteilten Zufallsvariablen sind insbesondere auch unabhängig vom Vektor der Zustandsvariablen X.
Vgl. Lando (1994, S. 92).
Zur formalen Definition von Cox Prozessen siehe Definition 3.1 in Kapitel 3.3.1.
Vgl. Lando (1998b, S. 109) bzw. Formel (5–50) in Kapitel 5.3.1.2.
Diese Annahme impliziert erneut, dass die risikoneutralisierte Generatormatrix für jeden Zeitpunkt bzw. jeden Pfad dieselben Eigenvektoren (die Spalten der Matrix B) besitzt.
Die Größen ε (X t ) sind die stochastischen Eigenwerte der Matrix ∧̅;x(t). Da die Zeilensummen der risikoneutralisierten Generatormatrix ∧̅;x(t) jeweils gleich null sind, muss auch einer der Eigenwerte dieser Matrix für alle Zeitpunkte und Pfade gleich null sein; o.B.d.A. sei dies der K.te Eigenwert, so dass µ K = 0 gilt.
Im Gegensatz zu (5–74) fordert Lando (1998b, Lemma 5.2, S. 110f.), dass die Funktionen ε i für alle Ratingklassen 1 bis K-1 nicht-negativ sind und das Integral der Funktionen ε i über dem Intervall [0, N] jeweils endlich ist. Aus Landos (1998b) Annahme der Nicht-Negativität der Funktionen ε i folgt, dass die Hauptdiagonalelemente der in (5–76) definierten Matrix N x (t, T), die gleichzeitig den Eigenwerten der risikoneutralisierten Übergangsmatrix Q̃x(t, T) entsprechen, größer gleich eins sind. Da Q̃x(t, T) eine stochastische Matrix ist, müssen ihre Eigenwerte jedoch kleiner gleich eins sein (vgl. Fußnote 92 in Kapitel 5.3.1.1), was durch die Bedingung (5–74) gewährleistet wird. Somit ist nicht offensichtlich, wie die Annahme von Lando (1998b) bezüglich des Bildraumes der Funktionen ε i kompatibel mit den Eigenschaften einer stochastischen Matrix und der Darstellung (5–75) und (5–76) ist.
Vgl. Lando (1994, S. 109; 1998b, S. 111).
In Lando (1994, S. 108) wird, analog zu Kapitel 5.3.1.4, die Menge der möglichen Adjustierungsfunktionen eingeschränkt auf µ i(X)=d i µ(X t ) V ie Ewobei durch d die Eigenwerte der Matrix A bezeichnet werden und ε: ℝd → ℝ+ eine nicht-negative und auf [0, N] fast sicher integrierbare Funktion ist. Dies bedeutet, dass sich in diesem Spezialfall die funktionale Abhängigkeit der Eigenwerte der risikoneutralisierten Generatormatrix von den Zustandsvariablen je Ratingklasse nur durch unterschiedliche Vorfaktoren, den Eigenwerten der realen Generatormatrix, unterscheidet. Es lässt sich zeigen, dass diese Modellspezifizierung (im Gegensatz zum Ansatz (5–73)) eine vollständige Korrelation der kurzfristigen Spreads der verschiedenen Ratingklassen impliziert (vgl. Arvanitis, Gregory und Laurent (1999, S. 33), Schönbucher (2000b, S. 151)). Des Weiteren kann im Rahmen des Kalibrierungsverfahrens, wie in Kapitel 5.3.1.4, wiederum nur eine exakte Anpassung an die Daten einer einzigen Ratingklasse erfolgen. Dafülr ergeben sich bei dieser Spezifizierung keine Probleme mit negativen Intensitätsraten außerhalb der Hauptdiagonalen der risikoneutralisierten Generatormatrix (vgl. nachfolgend Kapitel 5.3.2.3), da das Produkt aus einer Generatormatrix und einem nicht-negativen Skalar wiederum eine Generatormatrix ergibt.
Vgl. Lando (1998b, S. 113).
In Kapitel 3.3.1 war der Unternehmenswert V t die einzige erzeugende Zustandsvariable der Sigma-Algebra G t und die Sigma-Algebra H t wurde durch den Ausfallprozess l (τ = t erzeugt. Das äquivalente Martingalmaß P̃ ist damit ein Wahrscheinlichkeitsmaß, unter dem die mit dem Geldmarktkonto diskontierten Preise für risikolose und ausfallbedrohte Nullkuponanleihen bezüglich der in (5–78) definierten Filtration (Ft) t ∈ [0,N] Martingale sind.
Vgl. Lando (1994, S. 110; 1998b, S. 110ff.) für den Spezialfall von ausfallbedrohten Nullkuponanleihen mit einer Befriedigungsquote von δ = 0. Die „Recovery-of-Treasury“-Annahme im Insolvenzfall und die Annahme einer konstanten Befriedigungsquote aus dem ursprünglichen Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) werden in diesem Kapitel beibehalten.
Vgl. Lando (1994, S. 55f.; 1998b, S. 112).
Vgl. Lando (1998b, S. 112). Es lässt sich außerdem zeigen, dass die Konditionierung des Erwartungswertes bezüglich der Sigma-Algebra F durch die bezüglich der kleineren Sigma-Algebra G, ersetzt werden kann (vgl. Lando (1998b, S. 105).
Vgl. Lando (1998b, S. 114ff.).
l42 Eine derartige Spezifizierung wird auch als „affiner“ Generator bezeichnet (vgl. Huge und Lando (1999, S. 254)).
Vgl. Lando (1998b, S. 115f.). Siehe auch Kapitel 5.3.2.4.1.
Vgl. Sandmann (2001, S. 295ff.).
Zur ökonomischen Bedeutung und Besonderheiten der durch ausfallbedrohte Nullkuponanleihen implizit definierten Terminzinssätze vgl. Schönbucher (1998, S. 165, S. 177ff.), Uhrig-Homburg (2001, S. 39ff.). Es lässt sich beispielsweise zeigen, dass die Annahme der Arbitragefreiheit nicht hinreichend dafür ist, dass die ausfallrisikobehafteten Terminzinssätze stets größer oder gleich den entsprechenden risikolosen Terminzinssätzen sind. Die ausfallrisikobehafteten Terminzinssätze lassen sich auf Grund eines möglichen Ausfalls bis zum Fälligkeitszeitpunkt insbesondere auch nicht als diejenigen Zinssätze interpretieren, zu denen ausfallbedrohte Marktteilnehmer Geld per Termin aufnehmen können.
Vgl. Lando (1998b, S. 115, S. 117f.), Huge und Lando (1999, S. 255).
Vgl. Bedingung (5–43).
Vgl. Huge und Lando (1999, S. 255f.). Die Anpassung der Zeilensummen der risikoneutralisierten Generatormatrix, so dass diese jeweils gleich null sind, erfolgt über die Hauptdiagonalelemente. Somit stimmen die realen und die risikoneutralisierten Übergangsintensitäten außerhalb der letzten Spalte und der Hauptdiagonalen der Generatormatrix überein.
Vgl. Huge und Lando (1999, S. 261).
Vgl. Henn (1997, S. 82ff.).
Vgl. Henn (1997, S. 92ff.).
Zu hieraus resultierenden Unterschieden in der Bewertung von Linsswaps una Cremt Deiauit Swaps hill Kontrahentenausfallrisiko vgl. Huge und Lando (1999).
Vgl. die Ausfüührungen zu Beginn des Kapitels 5.3.2.
Vgl. analog Lando (1998b, S. 104ff.) bzw. Schönbucher (2000a, S. 78ff.) fir den Fall ohne Ratines.
Die Identität ergibt sich wegen u K = 0.
Für die letzte Umformung muss die Annahme getroffen werden, dass der Integrand hinreichend regulär ist, so dass eine Vertauschung der Integrationsreihenfolge zulässig ist.
Vgl. Cox, Ingersoll und Ross (1985, S. 391).
Vgl. Cox, Ingersoll und Ross (1985, S. 391). Negative risikolose Zinssätze r, wie sie bei der Spezifikation (5–80) möglich sind, können hier also nicht auftreten.
Zu möglichen unternehmensspezifischen Bonitätsindikatoren vgl. auch Bakshi, Madan und Zhang (2001, S. 10f.).
Vgl. Lando (1998b, S. 114ff.) sowie Kapitel 5.3.2.3. Die drei je Ratingklasse zu schätzenden Parameter werden bei dieser Vorgehensweise ausschließlich in Abhängigkeit von der Ausprägung der real zu beobachtenden Spreadkurve „am kurzen Ende“ bestimmt. Daher dürfte ein derart kalibriertes Modell eine sinnvolle Bewertung auch nur für derivative Finanztitel, z.B. von Credit Spread Options, mit kurzen Laufzeiten erlauben. Alternativ könnten diese beispielsweise auch so kalibriert werden, dass die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen Markt- und Modellpreisen für ausfallbedrohte Nullkuponanleihen mit identischem Rating aber unterschiedlichen Laufzeiten minimiert wird. Der Vorteil der in von Lando (1998b) beschriebenen Methode liegt in der einfachen Berechenbarkeit der Parameter durch Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Vgl. ähnlich Lando (1998b, S. 115f.) für den Ein-Faktor-Fall mit δ = 0.
Vgl. Cox, Ingersoll und Ross (1985, S. 393), Schönbucher (2000a, S. 101) sowie Fußnote 163 in diesem Kapitel.
Vgl. Schönbucher (2000a, S. 103).
Das Risiko eines Ausfalls des Risikoverkäufers wird wie schon in Kapitel 4.4.1.3 nicht erfasst. Zur Bewertung von Credit Default Swaps mit Kontrahentenausfallrisiko vgl. auch die in der Fußnote 45 in Kapitel 4.4.1.3 genannten Quellen.
Hierbei handelt es sich um eine häufig verwendete Annahme bei der Modellierung gemeinsamer Bonitätsänderungen von Schuldnern. Vgl. hierzu Kapitel 6.
Des Weiteren wird bei den nachfolgenden Umformungen jeweils die hinreichende Regularität der Integranden unterstellt, so dass eine Vertauschung der Integrationsreihenfolge zulässig ist.
Hierbei handelt sich dann um eine Erweiterung des Ansatzes von Kijima (2000a) und Kijima und Muromachi (2000a) auf ein ratingbasiertes Modell.
Zu dieser Idee im Fall einer zeitstetigen Markov Kette mit konstantem infmitesimalem Generator vgl. Bhattacharya und Waymire (1990, S. 318ff.) und Schönbucher (2000b, S. 149f.).
Vgl. Definition (5–73) der risikoneutralisierten Generatormatrix ∧(t). Wegen ε K = 0 könnte die Summation in (5–114) auch bei K-1 enden.
Vgl. Bhattacharya und Waymire (1990, S. 318).
Vgl. Lando (1998b, S. 111).
Vgl. Bhattacharya und Waymire (1990, S. 319) für den Fall einer homogenen Markov Kette.
Vgl. die markierten Teilbereiche der Matrizen B und B -1 in der obigen Darstellung der Matrix ∧’x(t).
Zur Simulation der Zeitpunkte von Bonitätszustandsänderungen im allgemeinen Fall vgl. Kapitel 5.3.2.1; siehe Huge und Lando (1999) zur numerischen Bestimmung von Zinsswap- und Credit Default SwapPreisen mit Kontrahentenausfallrisiko durch numerische Lösung eines Systems „quasi“-linearer partieller Differenzialgleichungen im Rahmen eines ratingbasierten Modells, in dem der infinitesimale Generator von der stochastischen Entwicklung des risikolosen Zinssatzes abhängt.
Zum analog erfolgenden Beweis der Chapman-Kolmogorov-Gleichungen für Markov Ketten 1.Ordnung vgl. Fahrmeir, Kaufmann und Ost (1981, S. 19f.).
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Grundke, P. (2003). Analyse und Erweiterungen des zeitdiskreten Modells von Jarrow, Lando und Turnbull. In: Modellierung und Bewertung von Kreditrisiken. Beiträge zur betriebswirtschaftlichen Forschung, vol 105. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-97847-9_5
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