Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden zunächst die grundlegenden Prinzipien bei der Bewertung zinsderivativer Instrumente im Rahmen zeitstetiger, auf der Dynamik des kurzfristigen Zinssatzes basierender einfaktorieller Zinsmodelle dargestellt. Im Anschluß an die Diskussion allgemeiner Eigenschaften der in diesem Kontext bestimmten Anleihepreise werden mittels einer komparativ-statischen Analyse für die wichtigsten Modelle die Auswirkungen der Veränderung einzelner Modellparameter auf die resultierende Zinsstruktur diskutiert. Im Hinblick auf die Eignung dieser Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen wird schließlich die durch diese Modelle implizierte Volatilität langfristiger Zinssätze untersucht.
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Literatur
Die entsprechenden Ableitungen müssen existieren und stetig sein.
Diese partielle Differentialgleichung ist von verschiedenen Autoren, beispielsweise Vasicek (1977) und Dothan (1978), abgeleitet worden.
Aus Gründen der Klarheit wird im weiteren Verlauf der Anleihepreis meist als Funktion dreier Variablen dargestellt: B(r,t,T), wobei der zusätzliche Parameter T die Fälligkeit der betrachteten Nullkuponanleihe bezeichnet.
Bei Futuresstyle Optionen wird der Optionspreis nicht bei Vertragsabschluß fällig, sondern es erfolgt bis zur Ausübung oder dem Verfall der Option wie bei einem Futureskontrakt ein täglicher Gewinn- und Verlustausgleich. Im Falle der Ausübung muß der zu diesem Zeitpunkt aktuelle Optionspreis entrichtet werden.
Während unmittelbare Zinsderivate direkt von einem Zinssatz abhängen oder umgekehrt einen solchen definieren (z.B. Zero Bonds), geht der Zins in den Wert mittelbarer Zinsderivate nur indirekt ein, bspw. über den Kurs einer zugrunde liegenden Anleihe.
Vergleiche bspw. Ingersoll (1987) S. 52 ff.
D. h. während der Laufzeit der Strategie werden weder Mittel zu- noch abgeführt.
Tatsächlich müssen, neben der Einhaltung gewisser Meßbarkeits- und Integrierbarkeitsvoraus-setzungen, zur Sicherstellung der Arbitragefreiheit bestimmte Handelsstrategien explizit ausgeschlossen werden. Ein Beispiel für eine derartige Strategie ist die in Harrison/Kreps (1979) besprochene Verdoppelungsstrategie. Eine Möglichkeit zum Ausschluß solcher Strategien stellt die Beschränkung der maximalen Verschuldungshöhe dar, bspw. durch die Einführung von Sicherheitsleistungen. Vgl. hierzu auch Heath/Jarrow (1987).
Letztere Eigenschaft wurde verlangt, da unter ökonomischem Blickwinkel jede weitere Einschränkung der zukünftigen Entwicklung des Momentanzinssatzes willkürlich erscheinen muß.
Gilt bei der ersten Forderung die strikte Ungleichheitsbeziehung, so besitzt der Prozeß für r = 0 einen reflektierenden Rand. Das bedeutet, falls der Rand erreicht wird, liegt unmittelbar danach wieder ein positiver Zinssatz vor.
Die zentrale Bedeutung von f wird im weiteren Verlauf deutlich werden.
Für eine weitere, auf der Fokker-Plank-(Vorwärts-)Gleichung basierende stochastische Repräsentation siehe Beaglehole/Tenney (1991). 14 Vgl. bspw. Friedman (1975) S. 144 ff.
Aus bereits genannten Gründen wird bei der Diskussion auf eine ausführliche Spezifikation des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes verzichtet. Für unter maßtheoretischen Gesichtspunkten exakte Ausführungen siehe Artzner/Delbaen (1989).
Vergleiche Vasicek (1977), Jamshidian (1989a) und Chen (1992) bzw. Cox/Ingersoll/Ross (1981b, 1985b).
Eine Prozeßspezifikation der Form dr = (κr + γr ln r) dt+σr dw führt ebenfalls zu logarithmisch normalverteilten Zinssätzen. Dies verdeutlicht, daß aus der Übereinstimmung der resultierenden Verteilungen nicht auf eine identische Charakterisierung der Prozesse durch eine stochastische Differentialgleichung geschlossen werden kann.
Vergleiche bspw. Cox/Ingersoll/Ross (1985a) S. 365. 19 Vergleiche Friedman (1975) S. 98.
Für den Nachweis der Eindeutigkeit einer eventuell nur bis zu einer zufälligen Explosionszeit existierenden Lösung reicht die Betrachtung der beiden Lipschitz-Bedingungen aus.
Vergleiche hierzu auch Arnold (1973) S. 127 und Karatzas/Shreve (1991) S. 332. 22 Bei nichtnegativen Prozessen ist ohnehin eine Explosion nach — oo ausgeschlossen. 23 Vergleiche Duffie (1992) S. 239 ff.
Die gewählte Art der Zinsrechnung stellt lediglich eine mathematische Konvention dar. Die jeweiligen Zinssätze können in die entsprechenden, auf der Basis einer anderen Form der Zinsrechnung beruhenden Werte überführt werden.
Auf diesen Punkt wird im weiteren Verlauf dieses Kapitels noch ausführlicher eingegangen.
Die in diesem und in den folgenden Abschnitten getätigten Interpretationen zielen weniger auf eine technische Begründung für das Auftreten gewisser Effekte ab. (Eine solche technisch orientierte Diskussion läßt sich am einfachsten mit Hilfe der Feynman-Kac-Darstellung (2.20) führen.) Vielmehr wird diskutiert, ob das gezeigte Verhalten im Rahmen des Modells ökonomisch sinnvoll ist.
Vergleiche hierzu Kapitel 5.
Bei dem Prozeß von Cox/Ingersoll/Ross (1985b) wurde, um der Systematik willen, der Marktpreis des Risikos ebenfalls als unabhängig von der Höhe des Momentanzinssatzes angenommen.
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© 1996 Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden
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Walter, U. (1996). Grundlagen einfaktorieller Zinsmodelle. In: Die Bewertung von Zinsoptionen. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-97713-7_2
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-97713-7_2
Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-8244-6227-8
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