Zusammenfassung
Wir beschäftigen uns nun mit Problemen, die sich bei der empirischen Bestimmung der Parameter der oben besprochenen Zinsstrukturmodelle ergeben. Insbesondere soll der Frage nachgegangen werden, wieviele Faktoren zur Beschreibung der Dynamik der Zinsstruktur notwendig sind, und wie diese beschaffen sein sollten.
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Literatur
Werden beispielsweise Zinsstrukturkurven als Parameter des bekannten Modells von Cox/Ingersoll/Ross (1985) geschätzt, so sind nur ganz bestimmte Formen von Zinsstrukturkurven möglich, da dieses Modell nur vier Parameter beeinhaltet: (1) konkav, steigende, (2) konvex, fallende und (3) aufwärts gekrümmte Zinsstrukturen mit nur einem einzigen Buckel. Alle drei Formen verlaufen sehr glatt.
Der durch die Verfahren erzeugte wellenförmige Verlauf der geschätzten Zinsstrukturkurve macht sich besonders negativ bei der Herleitung der Terminzinsstrukturen bemerkbar.
Die Daten wurden zum größten Teil von der BHF-Bank bereitgestellt.
Dies sind die an den 3-Monats-LIBOR geknüpfte Bundesanleihe (1990–95/2000, LIBOR ./. 0.25%), Bahnanleihe (1990–92/2000, LIBOR ./. 0.20%) und Postanleihe (1990–92/2000, LIBOR ./. 0.10%). Vgl. Informationsdienst für Bundeswertpapiere.
Alle mit den Anleihen verbundenen Zahlungs- bzw. Wertstellungstermine wurden kalendertäglich ermittelt.
Zur taggenauen Verrechnung von Stückzinsen und den damit verbundenen Fragen von Coupontrennung und Wertstellung vgl. Harter/Franke/Hofgrefe/Seger (1990), S.272ff.
Im gesamten Beobachtungszeitraum galt die zum 1.6.1986 in Kraft getretene, vereinheitlichte Regelung zur Berechnung der Stückzinsen. Vgl. hierzu Commerzbank (1990), S.137f, Harter/Franke/Hofgrefe/ Seger (1990), S.272, und Bundesverband deutscher Banken, Mitteilung Nr. 18 (1986).
Zur Vereinfachung der Notation schreiben wir statt rD(0;t) nur rD(t).
Die einzelnen Störterme wurden mit Hilfe des Zufallszahlengenerators des Software-Pakets “GAUSS-386I VM 3.01” (Prozedur RNDN) erzeugt.
Liegt der Wert der Durbin-Watson-Teststatistik in der Nähe von 2, muß angenommen werden, daß die Residuen nicht autokorreliert sind. (Genauer: Bei einer gegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 % und der gegebenen Anzahl von Beobachtungen bei einem Wert zwischen 1.6 und 2.4). Vgl. z.B. Bamberg/Schittko (1979), S.66f.
Eine mathematisch exakte Definition findet sich z.B. bei Bronstein/Semendjajew (1985), S.753. Vgl. auch Powell (1981) Kap. 6–8, Rice (1964), S.119ff und Phillips/Taylor S.42f und S.112f.
Vgl. z.B. Bronstein/Semendjajew (1985), Kap. 71.2. oder Powell (1981).
Vgl. beispielsweise Powell (1981) oder de Boor (1978).
Vgl. Shea (1984), S.255 und De Boor (1978), S.235ff. Für die Anwendung ökonometrischer Schätzverfahren müssen natürlich bestimmte Annahmen an diesen Fehlerterm erfüllt sein. Vgl. z.B. Bamberg/-Schittko (1979) oder Schneeweiß (1990).
Die Genauigkeit einer solchen Approximation kann i.a. erhöht werden, wenn sich adäquate Annahmen an den Funktionsverlauf treffen lassen. Als Beispiel hierfür sei die “natürliche Restriktion” der Diskontierungsfunktion angeführt. Vgl. hierzu S.102 dieser Arbeit.
Vgl. z.B. Durand (1942,1958), hier zitiert nach McCulloch (1971), S.19 i.V.m. S.24ff.
Für den verwendeten empirischen Datensatz wurden alle mit den Anleihen verbundenen Zahlungs- bzw. Wertstellungstermine kalendertäglich ermittelt. Vgl. Fußnote 147.
Da die untersuchten Anleihen des Bundes und seiner Gebietskörperschaften alle einen Nominalwert von 100 DM aufweisen, ergibt sich kein Unterschied zwischen Preis- und Prozentnotiz.
Diese können auch negativ sein, wenn die Anleihe ex-Coupon notiert. Vgl. Harter/Franke/Hofgrefe/Se-ger (1990), S.273f.
Zur Berechnung der Stückzinstage wird das Jahr zu 360 Tagen und der Monat zu 30 Tagen angesetzt. Zur exakten Berechnung der Stückzinstage vgl. z.B. Harter/Franke/Hofgrefe/Seger (1990), S.272ff.
Diese Funktionen werden im Rahmen des folgenden Abschnittes III.3.4 näher definiert.
Vgl. z.B. McCulloch (1971), S.23.
Vgl. Eubank (1988), S. 189.
In Rahmen der Zinsstrukturschätzungen finden ausschließlich Polynome vom Grad zwei bis drei Anwendung.
“Polynomials are wonderful even after they are cut into pieces, but the cutting must be done with care. One way of doing the cutting leads to so-called spline functions.” Schoenberg (1946).
“k-th order b-splines [are defined] as appropriately scaled k-th devided differences of the truncated power functions”. Vgl. de Boor (1978), S. 108.
Bei Verwendung von Polynomen des Grades n verlangt man, daß die ersten n-1 Ableitungen an den Nahtstellen stetig sind.
Vgl. z.B. Suits/Mason/Chan (1978), S.133ff.
Vgl. z.B. Buse/Lim (1977), S.64ff. Die Autoren zeigen, daß eine Regression mittels kubischer polynomischer Splines als Spezialfall von RLS-Schätzern aufgefaßt werden kann.
“ Not only are splines piecewise polynomials, they are parsimonious expressions of piecewise polynomials. Where the restricted least-squares model required 4k-8 parameters, McCulloch’s [1971] model required the estimation of k parameters.” Shea (1984), S.259.
Bei kubischen B-Splines erstreckt sich dieser Bereich über vier Intervalle.
Vgl. de Boor (1978), S.108ff oder Powell (1981), S.227ff, dort insb. Abbildung 19.1 auf S.230.
Siehe insbesondere die Arbeiten von McCulloch (1971,1975), Shea (1984), Vasicek/Fong (1982), Chambers/Carleton/Waldman (1984) und Steeley (1991). Außerdem Caleton/Cooper (1976), Coleman/ Fisher/Ibbotson (1992). Nicht betrachtet werden hier Arbeiten, die sich mit dem Nachweis von steuerlichen Einflüssen in den Preisen von Coupon-Anleihen beschäftigen und hierzu Lineare-Programmie-rungsansätze verwenden. Siehe z.B. Schaefer (1982) und Ronn (1987).
Zum Vergleich von Spline-Schätzern siehe auch die Arbeiten von Brüning (1990), Bußmann (1988,
und Deppner (1992).
Vgl. McCulloch (1971), S. 29. Zur Konstruktion der Spline-Funktionen aus abschnittsweise definierten Polynomen vgl. Suits/Mason/Chan (1978), S.133ff.
Werden k-1 quadratische Polynome definiert, müssen 3(k-l) Parameter geschätzt werden, deren Werte jedoch von den 2(k-2) Restriktionen an den k-2 inneren Knoten eingeschränkt werden. Hinzu kommt noch die natürliche Restriktion, D(0) = 1, am ersten Knoten. Hieraus ergeben sich insgesamt 3(k-l)-2(k-2)-l = k freie Parameter, bzw. k komposite Variablen. Diese k kompositen Variablen sind genau die Splinefunktionen. Vgl. Suits/Mason/Chan (1978), S.134f.
Zur Wahl der Intervallänge und Lage der Knotenpunkte vgl. Abschnitt III.3.5 dieser Arbeit.
Da wir an dieser Stelle nicht weiter auf den in der Literatur kontrovers diskutierten, sogenannten Tax-Effect eingehen wollen, sondern primär an unterschiedlichen Spline-Schätzern interessiert sind, sei hier nur darauf hingewiesen, daß die steuerlichen Vorschriften in den USA zwischen Bonds, die unter pari, Bonds, die über pari notieren, und Bills differenzieren, und die ursprüngliche Barwertgleichung in unterschiedlicher Weise modifiziert werden muß, um diesen Regelungen gerecht zu werden. Vgl. hierzu McCulloch (1975), S.811–814. McCullochs Schätzergebnisse werden von Jordan (1984), S.394ff kritisiert.
Beim Vergleich verschiedener Spline-Basen werden wir sehen, daß Schätzergebnisse, die auf unterschiedlichen Splines basieren, auch bei gleicher Parameterzahl nicht unmittelbar einander gegenübergestellt werden können. Bei Zinsstrukturschätzungen beeinflußt der Grad des Splines erheblich die Ergebnisse.
Die über k-2 Intervalle definierten kubischen Polynome benötigen 4(k-2) Parameter. Bei 3(k-3) Übergangsrestriktionen und der natürlichen Restriktion, D(0) = 1, verbleiben k freie Parameter. Vgl. hierzu auch Fußnote 177 dieser Arbeit.
Vgl. McCulloch (1975), S.829.
Vgl. Vasicek/Fong (1982), S.346.
Hierauf weist beispielweise auch McCulloch hin. Vgl. McCulloch (1971), S.20.
Vgl. Vasicek/Fong (1982), S.344ff.
“term structure estimates arising from the Vasicek/Fong model are often substantially the same that would be obtained from an ordinary polynomial model.” Shea (1985), S.324.
Eine maximale Intervallgröße gibt Shea jedoch nicht an.
Vgl. Shea (1985), S.323.
Vgl. Shea (1984), S.267f, Powell (1981), S.227f. Außerdem Shea (1982), hier zitiert nach Steeley (1991), S.513.
Vgl. Shea (1984), S.267 und Steeley (1991), S.515.
Vgl. Shea (1984), S.261. Hier findet sich auch ein Beispiel.
Vgl. Shea (1984), S.261.
“Because the coefficients of the derivative of a piecewise polynomial are multiples of the coefficients in the original polynomial, errors in the approximation of the slope of a discount curve can be significantly larger than the errors in the discount function approximation itself.” Shea (1984), S.267.
Während die Sinnhaftigkeit der Annahme nicht-negativer Zinssätze und Forward-Rates in der Literatur unbestritten ist, lassen sich Annahmen an die mögliche Schwankungsbreite der Forward-Rates nur ad hoc treffen. Der Vorschlag, die Instabilität der Forward-Rates zu vermindern, indem man bestimmte feste Relationen zwischen den Ableitungen der Diskontrunktion an einzelnen Knotenpunkten postuliert, ist bei Shea (1984), S.263, zu finden. Schätzergebnisse unter Berücksichtigung dieser Restriktion werden für den konstruierten Datensatz (KDS2) in den Abschnitten III.3.9.3 und III.3.9.4 dieser Arbeit präsentiert.
Vgl. Shea (1984), S.267f.
Vgl. Steeley (1991), S.515.
Zur Herleitung der B-Spline-Funktionen vgl. z.B. Powell (1981), S.229f. Steeley u.a. implementierten diesen Spline bei Zinsstrukturschätzungen. Vgl. z.B. Steeley (1991), S.515.
Zur alternativen Herleitung von B-Splines aus dividierten Differenzen vgl. z.B. Powell (1981), S.236 und de Boor (1978), S.108ff.
Vgl. hierzu z.B. Powell (1981), S.231f, und die Abb. 40.
Vgl. Powell (1981), S.234ff. Diese Rekurrenzrelation läßt sich auch bei der Berechnung der Ableitungen des B-Splines einsetzen. Vgl. Steeley (1991), S.519.
Vgl. z.B. Bamberg/Schittko (1979), S.37. Man beachte, daß hier ohne konstantes Glied geschätzt wird.
Vgl. McCulloch (1971), S.31.
Vgl. McCulloch (1971), S.31, McCulloch (1975), S.828.
Dies gilt für polynomische Splines. Für B-Splines gleicher Ordnung wird der Bereich [0,tma] nur in k-q-1 Intervalle unterteilt.
∫(x) gibt die größte Ganzzahl an, die kleiner als x ist.
Vgl. McCulloch (1971), S.29.
Vgl. zum RLS-Verfahren z.B. Johnston (1984), S.204ff. Zur Implementierung im Rahmen von Zinsstrukturschätzungen mit B-Splines vgl. Steeley (1991), S.519f, Brüning (1990), S.53ff, und Shea (1984), S.257f.
Fett gedruckte, hochgestellte Striche symbolisieren transponierte Vektoren bzw. Matrizen.
Vgl. z.B. Buse/Lim (1977), S.65, Johnston (1984), S.205, Shea (1984), S.258.
Vgl. Steeley (1991), S.518f.
Vgl. Shea (1984), S.263.
Ein Beispiel hierfür wird bei den Schätzungen anhand der konstruierten Daten gegeben. Vgl. S.128f dieser Arbeit.
Vgl. insb. Abschnitt III.3.9 dieser Arbeit.
Vgl. z.B. McCulloch (1975), S.827f.
Vgl. hierzu auch Kahn (1990), S.188.
Ohne den zweiten Term auf der rechten Seite von Gleichung (125) wird zwar die Konvexität der geschätzten Zinsstruktur in der Regel hinreichend gut eingeschränkt, man erhält jedoch des öfteren Kurven, die am langen Ende des Laufzeitenspektrums eine unverhältnismäßig hohe Steigung aufweisen. Diese ist nicht durch die Daten erklärbar, sondern entsteht aufgrund fehlender Nachbarbeobachtungen am Laufzeitenende.
Wir verwenden den in GAUSS enthaltenen Algorithmus von Broyden, Fletcher, Goldfarb undShanno. Zur Beschreibung dieses Verfahrens siehe Dennis/Schnabel (1983), S.198ff.
Die Rechenzeit ließ sich durch die Verwendung analytischer Gradienten ungefähr um den Faktor Zehn reduzieren.
Im Rahmen der hier durchgeführten Untersuchung lag der R2-Wert unabhängig vom verwendeten Verfahren nie unter 0.9999. Dies ist in erster Linie darauf zurückzuführen, daß im Gegensatz zu dem hier verwendeten Datensatz, bei McCulloch (1971) die Anleihen aus den verschiedensten Marktsegmenten stammen.
In diesem Fall symbolisiert X bereits die Matrix der gewichteten exogenen Variablen.
Vgl. McCulloch (1971), S.27f.
Vgl. hierzu ebenfalls McCulloch (1971), S.28. Vgl. auch Steeley (1991), S.521. Steeley leitet einen Schätzer für die Standardabweichung der Zinsstruktur bei diskreter Verzinsung her.
Vgl. z.B. Schlittgen/Streitberg (1987), S.161f.
Vgl. Chambers/CarletonAValdman (1984), S.240f.
Vgl. McCulloch (1971), S.21. Einen signifikanten Einfluß der Couponhöhe auf das Vorzeichen der Residuen können Chambers/Carleton/Waldman (1984), S.241, jedoch nicht feststellen. Da außerdem die Residuen von Schätzungen zu verschiedenen Zeitpunkten keine Stabilität aufweisen, verwerfen sie den Einfluß steuerlicher Effekte. Durch die Modellierung der steuerlichen Behandlung von Couponerträgen und Kapitalgewinnen bzw. -Verlusten gelingt es McCulloch zwar, den Erklärungsgehalt der Schätzung zu erhöhen, die Heteroskedastizität wird hierdurch jedoch nicht beseitigt. Vgl. McCulloch, (1975), S.811 und 814f.
Vgl. McCulloch (1971), S.21 und McCulloch (1975), S.814f. Da die anderen Fehlerquellen nur schwer zu quantifizieren sind, gewichtet McCulloch zur Reduktion der Heteroskedastizität die Beobachtungen mit den Transaktionskosten. Diese werden durch den halben Bid-Ask-Spread zuzüglich den Brokergebühren approximiert.
Vgl. Chambers/Carleton/Waldman (1984), S.241.
Vgl. Chambers/Carleton/Waldman (1984), S.244f.
Leider führen Vasicek/Fong keine Schätzresultate an. Shea testet zwar das Verfahren anhand eines aus Diskontanleihen bestehenden Datensatzes, nimmt jedoch zur Frage der Heteroskedastizität keine Stellung. Vgl. hierzu Vasicek/Fong (1982), S.345, Shea (1985) und zur Duration z.B. Ingersoll/-Skelton/Weil (1978), S.631f.
Vgl. z.B. Schneeweiß (1990), S.180ff.
Vgl. z.B. Johnston (1984), S.293ff.
Vgl. S.94 dieser Arbeit.
Vgl. auch McCulloch (1975), S.828.
Software: Gauss-386i VM 3.01.
Hardware: PC mit 80486 Prozessor und integriertem numerischen Coprozessor.
Der Unterschied zwischen polynomischen Splines und B-Splines bei entsprechender Wahl der Knotenpunkte ist genau wie bei den Zinsstrukturschätzungen für die Terminzinsstrukturschätzungen nicht erwähnenswert.
Vgl. S.94ff dieser Arbeit.
Siehe Abschnitt III.3.6.1 i.V.m. Abschnitt III.3.8 dieser Arbeit.
Der Autokorrelationskoeffizient der Residuen zum Lag 1 läßt sich aus der Durbin-Watson-Teststatistik gemäß abschätzen. Vgl. Bamberg/Schittko (1979), S.69.
Vgl. z.B. Shea (1984), S.259ff und Steeley (1991), S.520ff.
Diese Werte werden im Rahmen der empirischen Schätzungen beibehalten.
Vgl. Abschnitt III.3.6 dieser Arbeit.
Zur Berechnung vgl. z.B. Hartung (1989), S.865.
Die hohe Qualität dieser Schätzungen dürfte nicht zuletzt auf die Homogenität der verwendeten Daten zurückzuführen sein. Vgl. hierzu z.B. die Ergebnisse von Bühler/Schulze (1991), S.288, die Bundes-, Bahn- und Postanleihen gemeinsam verwenden.
Spalte (5) der Tabelle 2 zur Beschreibung der Schätzergebnisse mit konstruierten Daten legt die Vermutung nahe, daß positive Autokorrelation in den Residuen (niedrige Durbin-Watson-Werte) auf eine zu niedrige Ordnung des Splines schließen läßt, während negative Autokorrelation eher auf eine zu hohe Ordnung hindeutet.
Vgl. die obigen Ausführungen zu Sheas Restriktion, insb. das Beispiel auf S. 115 dieser Arbeit.
Zur genauen Berechnung vgl. S.150f dieser Arbeit.
Allerdings ist die letzte Schätzung (Abb. 55) nur beschränkt aussagefähig, da hier aufgrund des relativ kurzen Beobachtungszeitraumes (1988–1991) nur 16 Beobachtungen von viertelj ährlichen Forward-Rate-Veränderungen in die Schätzung der Volatilität eingehen.
Hier in der Regel 0 bis 10 Jahre.
Die absoluten Differenzen zwischen den mit den beiden Verfahren gewonnenen Zinsstrukturen lagen in der Regel unter 3 • 10”12 und sind vermutlich nur auf die Rundungsungenauigkeit des Computers zurückzuführen.
Siehe insbesondere Ho/Lee (1990), Heath/Jarrow/Morton (1991), Bühler/Schulze (1992) und Heath/ Jarrow/Morton/Spindel (1992).
Diesem Themenkreis sind insbesondere die Arbeiten von Bliss/Ronn (1989), Steeley (1990), Heath/ Jarrow/Morton (1991), Bühler/Schulze (1992) und Ho/Jara-Garcia (1992) zuzurechnen.
Vgl. Ho/Lee (1990), S.357ff. Heath/Jarrow/Morton/Spindel (1992), S.79, weisen darauf hin, daß dies grundsätzlich auch für das Modell von Heath/Jarrow/Morton (1990) möglich ist.
Dabei wird in der Regel die Summe der quadrierten Residuen minimiert.
Ho/Lee verwenden die Schlußkurse von 25 Handelstagen in den Optionsserien auf den 90-Day Eurodollar Time Deposit Future am International Money Market (IMM). Vgl. Ho/Lee (1990), S.357f.
Dergeschätzte Wert von -ln(δ)=rD(s,t;T)-rD(s+l,t;T) bewegt sich im Bereich von 0.0006 bis 0,0043; der geschätzte Wert von π streut zwischen 0.1775 und 0.9975. Vgl. Bühler/Schulze (1992), S.32f.
Steeley (1990) führt zwei Hauptkomponentenanalysen durch. Zum einen verwendet er als Daten die geschätzten B-Spline-Koeffizienten selbst und zum anderen die mit B-Splines geschätzten Zinssätze verschiedener Fristigkeiten (Punkte auf den geschätzten Zinsstrukturkurven).
Sie berechnen ihre Forward-Rate-Strukturen aus dem Mittel der Ask- und Bid-Schluß-Quotes von “Treasury strips” des Wall Street Journals im Mai 1989, wobei hierzu das vorhandene Restlaufzeitenspektrum in 7 Intervalle eingeteilt wird, und für jedes Intervall nur ein einziger Wert berechnet wird. Somit entstehen stückweise konstante Forward-Rate-Kurven mit Sprungstellen an den Intervallgrenzen. Aus diesen berechnen sie dann die für die Hauptkomponentenanalyse benötigten Veränderungen der Forward-Rates. Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1991), S.69ff.
Sie verwenden dabei Zinssätze verschiedener Fristigkeiten, die mit polynomischen Splines monatlich geschätzt wurden.
Dieser Punkt wird im weiteren Verlauf der vorliegenden Arbeit ausführlicher besprochen.
Die Technik der impliziten Schätzung der Parameter kann diesem Anspruch insbesondere dann nicht genügen, wenn für die Untersuchung Titel ausgewählt werden, deren Werte völlig unabhängig von dem möglichen Formenspektrum der Zinsstruktur sind. Aus den bei Ho/Lee (1990) berichteten Ergebnissen kann jedenfalls nicht geschlossen werden, daß die im Beobachtungszeitraum auftretenden Zinsstrukturveränderungen durch ihr Modell hinreichend genau beschrieben werden, sondern nur, daß ihr Modell die Preise von Optionen auf Titel, die Zerobonds sehr ähnlich sind, hinreichend genau approximiert.
Dies mag nicht zuletzt auf den bescheidenen Datenumfang von vier Jahren zurückzuführen sein, der bei Verwendung monatlicher Daten in weniger als 50 Beobachtungen resultiert. Von der Verwendung von wöchentlichen Daten wurde aufgrund der oben ausgeführten Problematik der Schätzung kurzfristiger Zinsstrukturveränderungen Abstand genommen.
Vgl. Überla (1977), S.3.
Vgl. Überla (1977), S.89.
Vgl. z.B. Harman (1976), S.15f.
“Die beobachteten Korrelationen werden als Ausdruck einer nicht beobachteten Größe, eines Faktors, angesehen, vom dem aus die Korrelationen in einfacher Weise berechnet werden können. “ Überla (1977), S.45.
Vgl. z.B. Harman (1976), S.15f.
Vgl. beispielsweise Überla (1977), S.81ff.
Die hier gewählte Notation folgt größtenteils Hartung/Elpelt (1992). Manche Autoren, z.B. Überla (1977) und Harman (1976), ordnen die Variablen zeilenweise und die Beobachtungen spaltenweise an.
In der klassischen Faktorenanalyse gibt q die Anzahl der gemeinsamen Faktoren an. Dabei wird zumeist q<m gefordert.
Vgl. Überla (1977), S.57.
Dies entspricht somit der Einheitsvarianz der Variablen.
Das Fundamentaltheorem geht auf Thurstone (1947) zurück. Vgl. Hartung/Elpelt (1992), S.509.
Vgl. Hartung/Elpelt (1992), S.509.
Vgl. Überla (1977), S.52, Hartung/Elpelt (1992), S.509.
Überla (1977), S.60.
Überla (1977), S.92.
Vgl. Überla (1977), S.92.
Vgl.zum folgenden insbesondere Hartung/Elpelt (1992), S.518ff und Überla (1977), S.93ff.
Diese Methode geht auf Lawley/Maxwell (1963) zurück.
Kanonische Faktorenanalyse und Maximum-Likelihood-Schätzung liefern (bis auf Rechenungenau-igkeiten) bei gleicher Faktorenzahl gleiche Schätzungen der Ladungsmatrix, da die den beiden Verfahren zugrundeliegenden Eigenwertprobleme indentisch sind. Vgl. Hartung/Elpelt (1992), S.525.
Die kanonische Faktorenanalyse wurde von Rao (1955) entwickelt.
Die Hauptkomponentenanalyse (Principal component analysis) geht auf Hotelling (1933) zurück.
Die auf Thurstone (1931) zurückgehende und rechentechnisch sehr einfach zu handhabende, aber heute kaum noch gebräuchliche Centroidmethode liefert eine Approximation der Ladungsmatrix, die der mit einer Hauptkomponentenanalyse geschätzten Ladungsmatrix sehr nahe kommt. Vgl. Hartung/Elpelt (1992), S.512.
Vgl. z.B. Überla (1977), S.88.
Eine übersichtliche Darstellung verschiedener Rotationsverfahren findet sich beispielsweise bei Har-tung/Elpelt (1992), S.546ff.
Detailliertere Empfehlungen zur Vorgehensweise bei der klassischen Faktorenanalyse finden sich beispielsweise bei Überla (1977), S.153f.
Hartung/Elpelt (1992), S.547.
Z.B. kann keine der Forward-Rates einen Wert unter Null aufweisen.
Vgl. S.153f dieser Arbeit.
Die Werte der Glättungsparameter stimmen mit der oben beschriebenen Vorgehensweise bei Schätzung (S5) überein. Vgl. Abschnitt III.3.9.3 dieser Arbeit.
Der vorgegebene Zeitsprung von 7 Tagen (“wöchentliche Daten”) bzw. 30 Tagen (“monatliche Daten”) zwischen den einzelnen Schätzungen läßt sich aufgrund von Feiertagen und Wochenenden nicht immer exakt einhalten. Findet nach 7 bzw. 30 Tagen kein Handel statt, weichen wir auf den folgenden Arbeitstag aus, bzw. auf den vorherigen, wenn dadurch der vorgegebene Zeitsprung besser eingehalten wird. Deshalb erhalten wir nur 45 “monatliche” und 199 “wöchentliche” Beobachtungen.
Die Ergebnisse für Forward-Rates, die mit den Verfahren (S3) bzw. (S5) geschätzt wurden, unterscheiden sich nur marginal. Vgl. hierzu Fußnote 302.
Vgl. Hartung/Elpelt (1992), S.569.
Z.B. der Maximum-Likelihood-Schätzung der Faktorladungen.
Vgl. z.B. Überla (1977), S.123ff.
Dieses Kriterium ist wegen seiner Einfachheit sehr beliebt. Vgl. Überla (1977), S.125.
Vgl. Überla (1977), S.125.
Für die nachfolgenden Hauptkomponentenanalysen wurden Scree-Tests durchgeführt. Vgl. hierzu die Abb. 57 und Abb. 56.
Vgl. z.B. Überla S.127f.
Mit steigender Anzahl von Wiederholungen erhält man eine glattere Mittelwertkurve.
Vgl. Überla (1977), S. 128.
Für Forward-Rate-Strukturen, die mit den Verfahren (S3), (S5) und (S6) geschätzt wurden, ergeben sich sehr ähnliche Ladungsvektoren. Auch sind hier nur marginale Unterschiede zwischen wöchentlichen und monatlichen Daten festzustellen. Bei allen sechs Schätzungen -jeweils drei für monatliche und wöchentliche Daten — unterscheiden sich die entsprechenden Ladungsvektoren nur geringfügig; nennenswerte Unterschiede sind nur am langen Ende festzustellen. Bei fünf von sechs Schätzungen sind jeweils zwei Hauptkomponenten signifikant; die einzige Ausnahme bilden wöchentliche Forward-Rate-Strukturen auf der Basis von (S3); hier sind drei Hauptkomponenten signifikant; aber auch hier stimmen die ersten beiden Ladungsvektoren mit denen von monatlichen Daten überein.
Die hier präsentierten Resultate sind konsistent mit den Ergebnissen von Bühler/Schulze (1993). Bühler/Schulze fuhren eine kanonische Faktorenanalyse durch unter Verwendung von 252 mit polynomischen Splines geschätzten Zinsstrukturen für den Zeitraum von 1968 bis 1989. Die Ladungen des ersten Faktors (Korrelationskoeffizienten zwischen den verwendeten Zinssätzen und den geschätzten Faktorenwerten) sind alle positiv und liegen im Bereich von 0.82 bis 0.99, wobei auch hier die Ladungen im mittelfristigen Bereich am höchsten sind. Die Ladungen des zweiten Faktors sind ähnlich wie hier im kurzfristigen Bereich negativ, im mittelfristigen Bereich nahe bei null und im langfristigen Bereich positiv. Vgl. Bühler/Schulze (1993), S.23.
Man beachte, daß die Ladungsvektoren trotz ihres scheinbar gleichen Funktionsverlaufs orthogonal zueinander sind.
Dies stützt auch die Ausführungen zur Fehlerhaftigkeit der geschätzten Volatilität der Forward-Rate-Veränderungen aufgrund des Verfahrens (S3). Vgl. Abschnitt III.3.10.3 dieser Arbeit.
Vgl. Hartung/Elpelt (1992), S.569.
Vgl. z.B. Hartung/Elpelt (1992), S.569ff und Überla (1977), S.235ff.
Dieses Verfahren geht auf Kaiser (1962) und Hotelling (1933) zurück. Vgl. Überla (1977), S.237f.
Negative Faktorwerte bedeuten, daß das Niveau der Forward-Rate-Struktur zu diesem Zeitpunkt unterhalb des für den Beobachtungszeitraum geltenden Durchschnittsniveaus liegt.
Die Faktorenwerte geben die Form der Forward-Rate-Struktur in Relation zur durchschnittlichen Forward-Rate-Struktur im Untersuchungszeitraum an. Diese ist hier weder steigend noch fallend, weist jedoch einen leichten Hügel im mittelfristigen Bereich auf.
Diese Aussage bezieht sich auf die Form der kumulierten Faktorwerte, nicht auf deren Niveau.
Dies ist konsistent mit den Ergebnissen von Bühler/Schulze (1993).
Steeley (1990) kommt aufgrund einer Hauptkomponentenanalyse, die er zum einen mit den geschätzten B-Spline-Koeffizienten und zum anderen mit den mit B-Splines geschätzten Zinssätzen verschiedener Fristigkeiten durchführt, zu dem Ergebnis, daß drei Hauptkomponenten signifikant sind. Allerdings erscheint insb. bei dem zweiten verwendeten Datensatz die Signifikanz eher zweifelhaft, da der zweite und dritte Eigenwert kleiner als 1 sind.
Im gesamten Untersuchungszeitraum liegen nur 45 monatliche Beobachtungen für die 19 verwendeten Variablen vor.
Aus der Tatsache, daß die Schätzwerte für den Parameter c nicht nahe bei 0 liegen, kann nicht geschlossen werden, daß das spezielle Model von Heath/Jarrow/Morton (1990) sich nicht empirisch bestätigen läßt. Dies liegt vielmehr an der hier verwendeten Technik der Hauptkomponentenanalyse, die automatisch orthogonale Ladungsvektoren konstruiert, die nicht mit der in diesem Modell vorgegebenen parametrisierten Form der Volatilitätsfunktionen in Einklang zu bringen sind, es sei denn man läßt negative Werte für die Volatilitäten einzelner Fristigkeiten zu. Bei der Schätzung einer zeitdiskrete Approximation ihres zeitstetigen Zwei-Faktoren-Modells von Heath/Jarrow/Morton (1987) erhalten sie z.T. negative “diskretized volatility functions”. Heath/Jarrow/Morton (1991), S.72. Die dort zitierten Resultate der von “BARRA” durchgeführten Hauptkomponentenanalyse deuten auf eine ähnliche Form der Ladungsvektoren hin wie sie in der vorliegenden Arbeit gefunden wurden.
Allerdings lassen sich hierdurch die im vorangegangenen Abschnitt angeführten Ergebnisse der Hauptkomponentenanalyse aufgrund der veränderten Periodenlänge A nicht ohne weiteres übertragen.
Wir verwenden den Algorithmus von Broyden, Fletcher, Goldfarb und Shanno, der im Programmpaket GAUSS enthalten ist. Siehe hierzu Dennis/Schnabel (1983), S.198ff.
Wir benutzen denselben Fristigkeitenvektor wie bei den durchgeführten Hauptkomponentenanalysen: T = 0.5,1.0,1.5,...,9.5 Jahre.
Ein ähnliches Problem tritt auch bei Bühler/Schulze (1992, 1993) auf. Bei der Schätzung ihres Tri-nomialmodells “weist die Zielfunktion kaum Veränderungen auf, wenn π im Bereich von 0.05 bis 0.95 variiert wird.” Bühler/Schulze (1992), S.32. Die Autoren schließen hieraus, daß das Übergangsverhalten der Zinsstrukturen nur in geringen Maße von den risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten abhängt. Vgl. Bühler/Schulze (1992), S.32 und (1993), S.35.
Die erwarteten Häufigkeiten der Werte {0,1,2,3,4} einer B(n,p)-verteilten Zufallsvariable fürn=4 und p=0.5 bei 49 Ziehungen sind {3.1,12.2,18.4,12.2,3.1}. Dem stehen für s1 die Häufigkeiten {1,11,28,7,2} bzw. {3,9,23,10,4} für s2 gegenüber.
Schätzt man die Parameter q1 und q2 mittels der Maximum-Likelihood-Methode aus den approximierten Werten der Zustandsvariablen S2 und s2, erhält man 0.4898 als Schätzwert für q1 und 0.5153 für q2.
Von den 49 Beobachtungen im Zeitraum 1988 bis 1991 wurden jeweils 12 zu einer Teilstichprobe zusammengefaßt; die letzte Beoabachtung entfällt. Obwohl dies nicht ganz richtig ist, bezeichnen wir der Einfachheit halber die einzelnen Teilzeiträume mit den entsprechenden Kalenderjahren.
Hierbei ergeben sich leichte Verzerrungen der Form der Ladungsvektoren, da die gemessenen Standardabweichungen für lange Fristigkeiten höher sind als für kurze und mittlere Fristigkeiten.
Zur Berechnung der modellierten Korrelationsmatrix vgl. die Ausführungen zu Abb. 35. Diese spiegelt die bedingten Korrelationen der modellierten Forward-Rates unterschiedlicher Fristigkeiten wider. Die empirischen Korrelationen sind aus den Zeitreihendaten von Forward-Rates unterschiedlicher Fristigkeiten berechnet. Die einzelnen Variablen wurden dabei nicht zeitverzögert, d.h. es handelt sich nicht um Autokorrelationen.
Der Vergleich der empirischen Korrelationsmatrix, bzw. der Kovarianzmatrix, mit der vom Modell erzeugten, stellt möglicherweise eine Alternative zur oben beschriebenen Vorgehensweise dar, die Parameter des Modells zu schätzen. Über ein nicht-lineares Optimierungsverfahren könnte man die Parameter so bestimmen, daß die Abweichungen zwischen den einzelnen empirischen und modellierten Korrelationskoeffizienten minimiert werden. Diese Möglichkeit wird hier jedoch nicht weiter verfolgt.
In Abschnitt III.3 wurden hierzu verschiedene Splineansätze miteinander verglichen. Die Ergebnisse dieses Vergleichs sind in III.3.11 zusammengefaßt.
In der vorliegenden Untersuchung wurde eine Hauptkomponentenanalyse durchgeführt.
Für die Hauptkomponentenanalyse existieren keine Signifikanztests im strengen Sinne. Der sogenannte Horn-Test kommt einem solchen jedoch sehr nahe. Vgl. hierzu S.153f der vorliegenden Arbeit.
So wäre es beispielsweise nicht sinnvoll, mit den geschätzten Faktorwerten eines Faktors, der ausschließlich eine Drehung der Forward-Rate-Struktur bewirkt, die Zustandsvariablen für das Modell von Ho/Lee (1986) bestimmen zu wollen, da dieses Modell nur Parallelverschiebungen der Forward-Rate-Struktur darstellen kann.
Bühler/Schulze (1992,1993) gehen unter Verwendung von Zinsstrukturdaten ähnlich vor. Heath/Jarrow/ Morton (1991) hingegen schätzen nicht die in der Arbeit von 1990 verwendeten Parameter: Sie verwenden statt dessen “discretized volatility functions”, die sich direkt aus den geschätzten Ladungsvektoren einer Hauptkomponentenanalyse ergeben. Diese führen sie, vereinfacht gesprochen, auf der Grundlage von relativen Forward-Rate-Veränderungen durch. Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1991), S. 66–72.
Diese Vorgehensweise wählen Ho/Lee (1990).
Allerdings kann es beim Modell von Heath/Jarrow/Morton im Rahmen von etwas umfangreicheren Anwendungen zu erheblichen Speicherplatz- und Rechenzeitproblemen kommen, so daß der Programmieraufwand zur Bewältigung dieser Probleme enorm anwachsen kann.
In den beiden Zwei-Faktoren-Modellen sind die Zerobondpreise in den einzelnen Zuständen zudem etwas aufwendiger zu berechnen als im Ho/Lee-Modell, so daß sich bei identischer Anzahl von Zuständen die Rechenzeit etwa verdoppelt.
Dieser Wert konnte mit dem hier verwendeten “33 MHz DX2 486 PC” allerdings nicht erzielt werden. Die Berechnung der Zinssätze in allen Zuständen bei monatlicher Periodenlänge betrug jedoch weniger als 5 Minuten, wobei bei der Programmerstellung auf eine Optimierung der Rechenzeit weniger Wert gelegt wurde. Bei Verwendung von schnellen Compilersprachen und entsprechender Optimierung des Programms dürfte dieser Wert deutlich zu unterbieten sein.
Vgl. insb. die Ausführungen im Abschnitt III.4.2.3 dieser Arbeit.
Das Modell von Heath/Jarrow/Morton wurde zwar nicht selbst geschätzt, da Heath/Jarrow/Morton (1991) aber zeigen, wie aus den mit einer Hauptkomponentenanalyse geschätzten Ladungsvektoren -die sich übrigens von den hier geschätzten Ladungsvektoren nicht sonderlich stark unterscheiden -diskrete Volatilitätsfunktionen zu gewinnen sind, die nicht mit den in der Arbeit von 1990 verwendeten parametrischen Volatilitätsfunktionen übereinstimmen müssen, lassen sich die vorgestellten Schätzergebnisse für das Zwei-Faktoren-Modell als grobe Anhaltspunkte zur Beurteilung des Modells von Heath/ Jarrow/Morton heranziehen.
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Hess, D.E. (1995). Schätzverfahren zur Bestimmung der Zinsstruktur und deren Dynamik. In: Die Dynamik der Zinsstruktur. Deutscher Universitätsverlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-97698-7_3
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