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Branch-and-Bound-Algorithmen zur Lösung gemischtganzzahliger Optimierungsprobleme

  • Birgit Schwartz
Chapter
Part of the Gabler Edition Wissenschaft book series (GEW)

Zusammenfassung

Zur Lösung von linearen kontinuierlichen Optimierungsproblemen wurde 1947 von DANTZIG das Simplexverfahren entwickelt.158 Da hiermit jedoch nur kleine Probleme bewältigt werden konnten, sind eine Vielzahl algorithmischer Verbesserungen vorgenommen worden, so daß heute kommerzielle Software-Pakete zur linearen Optimierung in der Lage sind, Probleme mit mehreren tausend Restriktionen und Variablen zu lösen.

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Literatur

  1. 158.
    Dantzig, G.B.: Linear Programming and Extensions, Princeton 1963Google Scholar
  2. 159.
    Es gibt nur eine geringe Anzahl von Problemen, wie z.B. das Transport-oder das Zuordnungsproblem, bei denen grundsätzlich gewährleistet ist, daß das Simplexverfahren eine ganzzahlige Lösung liefert. Vgl. hierzu z.B.: Hillier, F.S., Liebermann, G.J.: Introduction to Operations Research, 4. Aufl., Oakland 1986, S. 401Google Scholar
  3. 160.
    Geoffrion, A.M., Marsten, R.E.: Integer Programming Algorithms: A Framework and State-ofthe-Art Survey, Management Science, Vol. 18, Nr. 9, 1972, S. 465–491, hier S. 483Google Scholar
  4. 161.
    Eine detailliertere Beschreibung findet sich z.B. in: Burkard, R.E.: Methoden der Ganzzahligen Optimierung, Wien New York 1972, S. 131 ffGoogle Scholar
  5. 162.
    Hillier, F.S., Liebermann, G.J.: a.a.O., S. 420Google Scholar
  6. 163.
    Neben der Anwendung im Bereich des Operations Research kommen Branch-and-Bound-Verfahren aber auch im Bereich der Künstlichen Intelligenz zum Einsatz. Vgl. hierzu z.B.: Nilsson, N.J.: Problem-solving Methods in Artificial Intelligence, New York 1971, S. 10 fGoogle Scholar
  7. 164.
    Lawler, E.L., Wood, D.E.: Branch-and-Bound Methods: A Survey, Operations Research, Vol. 14, Nr. 4, 1966, S. 699–719; Mitten, L.G.: Branch-and-Bound Methods: General Formulation and Properties, Operations Research, Vol. 18, Nr. 1, 1970, S. 24–34Google Scholar
  8. 165.
    In der Literatur finden sich auch die Begriffe Lösungsbaum oder Entscheidungsbaum. Vgl. hierzu: Domschke, W.: Logistik: Rundreisen und Touren, München Wien 1982, S. 7Google Scholar
  9. 166.
    Im folgenden werden die Begriffe Knoten und Teilproblem synonym verwendet.Google Scholar
  10. 167.
    Wie schon im Kapitel 2 erläutert, wird von einem Maximierungsproblem ausgegangen.Google Scholar
  11. 168.
    Das Weglassen der Ganzzahligkeitsbedingung ist die gängige Relaxation für ganzzahlige bzw. gemischt-ganzzahlige Optimierungsmodelle.Google Scholar
  12. 169.
    Der Fall binärer SOS wird z.B. beschrieben in: Gauthier, J.-M., Ribière, G.: Experiments in Mixed-Integer Linear Programming using Pseudo-costs, Mathematical Programming, Vol. 12, 1977, S. 26–47, hier S. 40Google Scholar
  13. 170.
    Forrest, J.J.H., Hirst, J.P.H., Tomlin, J.A.: Practical Solution of Large Mixed Integer Programming Problems with UMPIRE, Management Science, Vol. 20, Nr. 5, Theory Series, 1974, S. 736773, hier S. 767Google Scholar
  14. 171.
    Es wird davon ausgegangen, daß die Anzahl der möglichen Zustände größer als 2 ist.Google Scholar
  15. 172.
    Breitensuche bedeutet, daß zunächst alle Knoten einer Stufe berechnet werden, bevor zur nächsten Stufe verzweigt wird. Bei der Tiefensuche wird nach der Berechnung eines Knotens der Nicht-Blattebene sofort ein Nachfolgeknoten behandelt. Ist die Blattebene erreicht, wird möglichst tief im Baum weitergegangen. Bei der Suche nach dem besten Zielfunktionswert wird stets bei dem Knoten fortgefahren, der von den noch zu bearbeitenden Knoten den besten Zielfunktionswert besitzt. Die Zufallssuche bestimmt den nächsten zu bearbeitenden Knoten auf der Basis einer Zufallszahl, die mit Hilfe eines Zufallszahlengenerators erzeugt wird.Google Scholar
  16. 173.
    Boehning, R.L., Butler, R.M., Gillet, B.E.: A parallel integer linear programming algorithm, EJOR, Vol. 34, 1988, S. 393–398, hier S. 395Google Scholar
  17. 174.
    Hillier, F.S., Liebermann, G.J.: a.a.O., S. 87Google Scholar
  18. 175.
    So ist es z.B. aufgrund der guten Wiederaufsetzmöglichkeit bei der Tiefensuche möglich, daß trotz höherer Knotenanzahl als bei der best-first-Suche die Anzahl der insgesamt für die Bestimmung der optimalen ganzzahligen Lösung benötigten Pivotschritte geringer ist.Google Scholar
  19. 176.
    Diese kombinierte Suchstrategie wird auch in kommerziellen Software-Paketen, wie z.B. MPSX/370 Version 2 von IBM eingesetzt.Google Scholar
  20. 177.
    Für die Ermittlung der Knotenanzahlen wurde das Modell A3010301 (wird im Kapitel 7 noch vorgestellt) mit folgender Verfahrensvariante herangezogen: U/V-Formulierung mit einfacher Relaxation, best-first-Suche, binäre Verzweigung, Teilungspunkt auf der Basis eines binären SOS, kontinuierliche Gewichtung.Google Scholar
  21. 178.
    Gauthier, J.-M., Ribière, G.: a.a.O., hier S. 41Google Scholar
  22. 179.
    Das Konzept des Erfüllungsgrades findet sich in der Literatur insbesondere für den allgemeinen Fall binärer Variablen; es wird jedoch auch auf SOS angewendet, wobei allerdings lediglich binäre SOS betrachtet werden. Vgl. hierzu: Gauthier, J.-M., Ribière, G.: a.a.O., hier S. 34 und 41; Forrest, J.J.H., Hirst, J.P.H., Tomlin, J.A.: a.a.O., hier S. 768Google Scholar
  23. 180.
    Der Fall binärer SOS ist als Spezialfall enthalten.Google Scholar
  24. 181.
    Gauthier, J.-M., Ribière, G.: a.a.O., hier S. 30Google Scholar
  25. 182.
    In der Literatur finden sich Berechnungsvorschriften für den Fall eines Binärbaums auf der Grundlage binärer SOS. Vgl. hierzu z.B.: Gauthier, J.-M., Ribière, G.: a.a.O., hier S. 40Google Scholar
  26. 183.
    GAUTHIER und RIBIÈRE bemerken hierzu, daß es eine Klasse von Modellen gibt, bei denen die Pseudokosten unabhängig von der Position im Branch-and-Bound-Baum die gleiche Größenordnung aufweisen. Vgl. hierzu: Gauthier, J.-M., Ribière, G.: a.a.O., hier S. 29Google Scholar
  27. 184.
    Gauthier, J.-M., Ribière, G.: a.a.O., hier S. 30Google Scholar
  28. 185.
    GAUTHIER und RIBIÈRE sprechen in diesem Fall von der Lösung eines “dummy subproblems”. Vgl. hierzu: Gauthier, J.-M., Ribière, G.: a.a.O., hier S. 30Google Scholar
  29. 186.
    Bei der Berechnung von Zusatz-Pseudokosten kann der Fall auftreten, daß sich aufgrund von Unzulässigkeiten die benötigten Zusatz-Pseudokosten nicht ermitteln lassen. Es entsteht dann eine ähnliche Situation wie bei den Pseudokosten. Im folgenden wird davon ausgegangen, daß dieser Fall selten eintrifft und daher im Zusammenhang mit der Berechnung von Zusatz-Pseudokosten auf eine Überarbeitung der geschätzten Zielfunktionswerte verzichtet werden kann.Google Scholar
  30. 187.
    Dieses Kriterium wird in der Literatur als Best Projection Kriterium bezeichnet. Vgl. hierzu: Forrest, J.J.H., Hirst, J.P.H., Tomlin, J.A.: a.a.O., hier S. 748 ffGoogle Scholar
  31. 188.
    Forrest, J.J.H., Hirst, J.P.H., Tomlin, J.A.: a.a.O., hier S. 750Google Scholar
  32. 189.
    Der aktuelle Bound entspricht jeweils dem Zielfunktionswert der bisher besten ganzzahligen Lösung des Problems.Google Scholar
  33. 190.
    Suhl, U.: Entwicklungstendenzen von mathematischer Optimierungs-Software, IBM Kongress ‘86, IBM Deutschland 1986, S. 13 f; Spielberg, K.: Entwicklungstendenzen in der Mathematischen Programmierung, IBM Kongress ‘88, IBM Deutschland 1988, S. 13 fGoogle Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1994

Authors and Affiliations

  • Birgit Schwartz

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