Die Umkehrung der elementaren Funktionen

Zusammenfassung

In der reellen Analysis ist es leicht, etwa bei der Funktion y = x ² ein maximales Definitionsintervall für eine Umkehrfunktion anzugeben: Für y ≥ 0 sind $x = \sqrt y$ und $x = - \sqrt y$ Umkehrfunktionen, beide sind für y > 0 differenzierbar. Im Komplexen ist die Frage nach dem natürlichen Definitionsbereich einer Umkehrfunktion von w = z ² schwieriger: Obwohl es zu jedem Punkt w ₀ ∈ ℂ — {0} einen Kreis D(w ₀) und zwei auf D(w ₀) holomorphe Funktionen f _l und f2 mit f _l(w)² = f ₂ (w) ² = w gibt, existiert keine auf ganz ℂ — {0} holomorphe Funktion, die jedem w eine Quadratwurzel aus w zuordnet. Dieses Phänomen ist für die Umkehrung aller nur lokal injektiven holomorphen Funktionen typisch; es führt — was wir hier nicht weiter verfolgen — in die Theorie der Riemannschen Flächen. — Wir untersuchen in diesem Kapitel die Umkehrung der Potenzen und der elementaren transzendenten Funktionen; alle ihre Eigenschaften können auf das Verhalten des Logarithmus (der Umkehrung der Exponentialfunktion) zurückgeführt werden. Nebenbei wird sich eine anschauliche Interpretation der Umlaufszahl ergeben.