Nichtlineare Gleichungen und Systeme

Zusammenfassung

Sind f und g zwei gegebene Funktionen, so geht es in diesem ganzen Kapitel darum, diejenigen Punkte x zu finden, für die gilt:

$$f\left( x \right) = g\left( x \right)$$

((10.1))

Dieses Problem ist gleichbedeutend mit der Suche nach den Schnittpunkten der beiden Graphen von f und g. Diese Interpretation ist außerordentlich praktisch, weil eine Skizze der beiden Graphen häufig eine gute Information über die Anzahl und die (ungefähre) Lage der Schnittpunkte gibt. Wir nennen diese Lösungstechnik von (10.1) graphische Methode. Wir nehmen als Beispiel f(x) = tan(x) und g(x) = - (x-π/2)² + a, wobei a eine frei wählbare Konstante bedeuten soll. Wir sehen (in Figur 10.1, S. 301 mit a = 3), daß in den Intervallen [(2k - 1)π/2, (2k+ 1)π/2], k = 0, 1,... eine Nullstelle liegt, im Intervall [-π/2, π/2] aber noch ein bis zwei weitere Nullstellen liegen können, je nach Wahl der Konstanten a. Wir erkennen auch, wo in etwa die Schnittpunkte liegen. Sind f und g zwei gegebene Funktionen, so geht es in diesem ganzen Kapitel darum, diejenigen Punkte x zu finden, für die gilt:

$$f\left( x \right) = g\left( x \right)$$

((10.1))

Dieses Problem ist gleichbedeutend mit der Suche nach den Schnittpunkten der beiden Graphen von f und g. Diese Interpretation ist außerordentlich praktisch, weil eine Skizze der beiden Graphen häufig eine gute Information über die Anzahl und die (ungefähre) Lage der Schnittpunkte gibt. Wir nennen diese Lösungstechnik von (10.1) graphische Methode. Wir nehmen als Beispiel f(x) = tan(x) und g(x) = - (x-π/2)² + a, wobei a eine frei wählbare Konstante bedeuten soll. Wir sehen (in Figur 10.1, S. 301 mit a = 3), daß in den Intervallen [(2k - 1)π/2, (2k+ 1)π/2], k = 0, 1,... eine Nullstelle liegt, im Intervall [-π/2, π/2] aber noch ein bis zwei weitere Nullstellen liegen können, je nach Wahl der Konstanten a. Wir erkennen auch, wo in etwa die Schnittpunkte liegen.