Was ist ein mathematischer Satz und ein mathematischer Beweis?

Zusammenfassung

Eine der wichtigsten und charakteristischsten Eigenschaften der Mathematik ist ihre Präzision: Mathematische Begriffe müssen klar und eindeutig definiert werden und mathematische Sachverhalte — sogenannte Sätze — müssen bewiesen werden. Was ist nun ein Beweis? Ein Beweis einer mathematischen Aussage oder Behauptung ist die logische Ableitung dieser Aussage aus bereits bewiesenen Aussagen. Diese Erklärung ist natürlich unbefriedigend, denn die „bereits bewiesenen Aussagen“ müssen ja auch aus schon bewiesenen Aussagen abgeleitet werden, usw. usw. Man muß bei diesem Prozeß der Deduktion offenbar einen „Anfang“ haben, Aussagen, deren Richtigkeit feststeht, und die nicht mehr bewiesen werden müssen. Solche Aussagen heißen Axiome.