Differentialrechnung im R^p

Zusammenfassung

In diesem Buch haben wir schon mehrmals betont, daß bei der Untersuchung reeller Funktionen f sowohl von theoretischem als auch von praktischem Standpunkt aus die Frage im Vordergrund steht, wie sich die Werte f(x) bei Änderungen des Arguments x verhalten. Die entscheidenden und erstaunlich leistungsfähigen Hilfsmittel zur tieferen Diskussion dieser Frage waren die Begriffe der Stetigkeit und vor allem der Differenzierbarkeit. Natürlich wird die Analyse des Änderungsverhaltens auch in der Theorie und Anwendung der Funktionen von mehreren reellen Veränderlichen eine erstrangige Rolle spielen, und man wird ganz selbstverständlich daran denken, die erfolgreichen und klärenden Fundamentalbegriffe „Stetigkeit“ und „Differenzierbarkeit“ in angemessener Weise von R nach R^p zu übertragen, um ihnen dort eine neue Karriere zu eröffnen. Für die Stetigkeit haben wir dies — und zwar in viel allgemeineren Zusammenhängen — bereits in den Nummern 111 bis 113 und in nochmals vertiefter Form in den Nummern 158 und 159 geleistet. Der Differenzierbarkeitsproblematik sind wir bisher ausgewichen. Im vorliegenden Kapitel werden wir nun gerade diese Problematik aufgreifen und dabei zu weitaus tieferen Einsichten in das Verhalten der Funktionen von mehreren Veränderlichen kommen als bisher. Den ersten, vorbereitenden Schritt in das neue Problemfeld tun wir in der folgenden Nummer Wir verabreden vorher noch, uns die Vektorräume R^p, R^q,... immer mit gewissen Normen versehen zu denken; in der Wahl der letzteren sind wir dank des Satzes 153.1 oder auch des Satzes 109.8 völlig frei. Wir bezeichnen sie unterschiedslos mit dem einen Symbol ‖·‖. Sollten wir gelegentlich aus irgendwelchen Gründen ganz spezielle Normen bevorzugen, so werden wir dies ausdrücklich sagen.

Auch meinte ich in meiner Unschuld, daß es für den Physiker genüge, die elementaren mathematischen Begriffe klar erfaßt und für die Anwendungen bereit zu haben, und daß der Rest in für den Physiker unfruchtbaren Subtilitäten bestehe — ein Irrtum, den ich erst später mit Bedauern einsah.

Albert Einstein