Zusammenfassung
Die analytischen Rechenansätze in den vorangegangenen Abschnitten dieses Buches dienten dem Zweck, das Verständnis für die grundlegenden Beziehungen zwischen Kraftwirkungen und Verformungen zu entwickeln. Umfang und Schwierigkeitsgrad der in der Praxis auftretenden Probleme übersteigen allerdings schnell die Reichweite dieser Rechenansätze. In diesen Fällen verspricht die bewährte Methode, ein größeres Problem auf kleine, einfache Teilprobleme mit fertigen allgemeinen Lösungen zurückzuführen, einen praktikablen Lösungsweg.
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Literatur
Den hier definierten Begriff Knoten unterscheide man von dem enger gefaßten Begriff Knoten in der Fachwerklehre, der dort im Sinne einer gelenkigen Verbindung verwendet wird, weil die Fachwerkstäbe keine Momente übertragen können.
Zur Vereinfachung der Ausdrucksweise soll hier wie im Folgenden sowohl für Kräfte als auch für Momente der Sammelbegriff Kraft verwendet werden. Im übrigen beachte man, daß es sich bei den Knotenkräften nach obiger Definition um Kraftwirkungen auf das Element handelt, die am Knoten lokalisiert sind.
Die Achsrichtungen der Elementkoordinatensysteme werden hier mit u, v, w bezeichnet, um ein auch für eine Computerliste geeignetes Unterscheidungsmerkmal gegenüber den Achsrichtungen des Strukturkoordinatensystems zu haben.
Der Begriff Freiheitsgrad wird hier anders als in Teil 1, Abschn. 5.1 verwendet. Hier versteht man unter den Bewegungsfreiheitsgraden einer Struktur ein System voneinander unabhängiger Parameter, die die Bewegungen aller Strukturpunkte eindeutig bestimmen. Außer den Knotenverschiebungen und Knotendrehungen, die mit den 1. Ableitungen der Verschiebungen der Strukturpunkte nach x, y oder z zusammenhängen, können auch höhere Ableitungen der Verschiebungen der Strukturpunkte, die als Krümmungen, Verwindungen usw. zu deuten sind, als derartige Parameter herangezogen werden. Sie werden, wenn auch nicht so häufig, tatsächlich praktisch verwendet, z. B. für die Berechnung von Platten.
Die Verschiebungen werden durch den Buchstaben v mit zwei Indizes gekennzeichnet. Der erste Index weist auf die Achsrichtung als positiver Verschiebungsrichtung hin, der zweite auf den Knoten.
Diese vereinfachte Ausdrucksweise soll für das Einsetzen der Verformungsgröße Δl aus Gl. (275.1) in die Gl. (275.2) und der Schnittgröße F u aus Gl. (275.2) in die Gln. (275.3) verwendet werden. Da jeweils die Größen auf der linken Seite der vorangehenden in die rechten Seiten der nachfolgenden Gleichungen einzusetzen sind, sind die Gleichungen von rechts nach links angeordnet.
Mit dem Zeichen ~ über dem Symbol für den Spaltenvektor soll darauf hingewiesen werden, daß die Komponenten des Spaltenvektors im lokalen Koordinatensystem definiert sind. Beim Übergang zum globalen Koordinatensystem wird es weggelassen (vgl. S. 291).
Die Drehungen sind kleine Drehwinkel, die im Bogenmaß angegeben werden. Sie werden gekennzeichnet durch den Buchstaben d mit zwei Indizes. Der erste Index weist auf die Achsrichtung als positiver Drehrichtung im Rechtsschraubungssinne hin, der zweite auf den Knoten.
s. Teil 1, Abschn. 4.1.1 und 4.2 sowie Teil 2, Abschn. 1.4.2.
Dabei werden für die Spaltenvektoren der Knotendrehungen und -momente die mit Gl. (275.5) eingeführten Bezeichnungen ṽ und f̃ verwendet.
Beachte Fußnote 1 auf S. 106.
Die Starrkörperbewegung ist auch beim Zug-Druckstab und beim Drehstab in Form einer Verschiebung des Stabes in Stabrichtung bzw. Drehung um die Stabrichtung vorhanden und wurde dort ohne besondere Erwähnung durch die Differenzbildung Gl. (275.1) und Gl. (276.1) eliminiert.
Bezeichnung nach der Hauptachse, um die das Biegemoment wirkt.
Vgl. Brauch, W.; Dreyer, H.-J.; Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure, 7. Aufl. Stuttgart 1985, Abschn. 4.1.3.
F x1 und F y1 sind in Bild 287.1b so eingezeichnet wie sie sich bei positiven Spannungen und den angenommenen Eckpunktkoordinaten ergeben, als negative Kräfte entgegengesetzt zur x- bzw. y-Richtung.
Vgl. S. 280, 283 und 288. Bei den Knotenbewegungen und Knotenkräften im globalen Koordinatensystem wird das Zeichen ~ über dem Spaltenvektor weggelassen.
Die Knotenfolge soll hier mit der Knotennumerierung übereinstimmen. Das muß nicht unbedingt der Fall sein. Die Knotennumerierung wählt man gerne nach Gesichtspunkten der Übersichtlichkeit, die Knotenfolge dagegen nach Gesichtspunkten des Rechenaufwandes, vgl. S. 299.
Dann heißen die Bewegungsfreiheitsgrade v 1 , v 2, v 3, v 4 ... mit der Ordnungsnummer als Index.
Zur Verdeutlichung der Zuordnung sind im folgenden die physikalischen Bezeichnungen der Freiheitsgrade über die betreffenden Spalten der Steifigkeitsmatrizen geschrieben.
Andere gebräuchliche Bezeichnungen sind festgehaltene oder gesperrte Freiheitsgrade.
Man beachte, daß ein- und dieselbe Struktur in mannigfach verschiedener Weise abgestützt werden kann und erst die Art der Abstützung entscheidet, welche Freiheitsgrade davon betroffen werden. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix der nicht abgestützten Struktur bleibt, wie die Struktur selber, in allen Fällen dieselbe.
Über weitere, aber aufwendigere Möglichkeiten s. Abschn. 13.3.6.
Brauch, W.; Dreyer, H.-J.; Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure, 8. Aufl., Stuttgart 1990.
Eine andere Bezeichnung ist abhängige und unabhängige Freiheitsgrade.
Das Programm ist mit dem Pre- und Postprocessor FEMAP, einschließlich User Manual und weiteren Informationen, unter dem Suchbegriff http://www.igfgrothtp2000.de/ www.IGFgrothTP2000.de im Internet verfügbar gemacht. Weiterführende und ausführlich diskutierte praxisnahe Beispiele, mit kompletter Trainingssoftware und ausführbaren Beispielen auf CD, finden sich in Lit. [34].
n als Ordnungszahl und 1,13 N/mm2 als Spannungsinkrement entsprechend der spannungsoptischen Konstanten S der Versuchseinrichtung nach S. 268.
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© 2002 B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden
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Holzmann, G., Meyer, Schumpich (2002). Finite-Elemente-Methode. In: Technische Mechanik 3. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-96799-2_13
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Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
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