Zusammenfassung
Bei zahlreichen mathematischen Problemen ist die zweckmäßige Formulierung der Aufgabenstellung ein entscheidender Schritt hin zu einer Lösung. Die Wahl geeigneter mathematischer Räume und Abbildungen spielt hierbei eine wichtige Rolle. Wir wollen ein breites Angebot an Räumen und Abbildungen bereitstellen und deren Eigenschaften untersuchen. Zunächst beschäftigen wir uns mit verschiedenen Klassen von Räumen. Beginnend beim metrischen Raum, der mit schwachen Voraussetzungen auskommt, führt unser Weg durch schrittweise »Anreicherung« mit zusätzlichen Struktureigenschaften über den normierten Raum zum Banachraum und zum Hilbertraum, der besonders schöne und für die Anwendungen interessante Eigenschaften besitzt.
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Literatur
Ein Beweis findet sich z.B. in Ljusternik/Sobolev [98], S. 356
David Hilbert (1862–1943), deutscher Mathematiker
Zum Beweis siehe z.B. Ljusternik/Sobolev [98], S. 355
Wir beachten, daß auch (A, d) und (B, d) metrische Räume sind.
Für p = 1 bedeutet dies, etwas vergröbert ausgedrückt: Der Flächeninhalt der Fläche zwischen den Graphen von x n (t) und x0(t) wird für hinreichend große n beliebig klein (s. auch Fig. 1.3, Abschn. 1.1.1).
Der Index X bzw. Y bei d weist auf die in X bzw. Y erklärte Metrik hin.
S. Banach (1892–1945), polnischer Mathematiker
Wir weisen darauf hin, daß sich jedes lineare Gleichungssystem mit einer (n, Ai)-Koeffizientenmatrix auf diese Form bringen läßt.
I. Fredholm (1866–1927), schwedischer Mathematiker
s. Heuser [71], Beispiel 6.6
H.A. Schwarz (1843–1921), deutscher Mathematiker
Re z bezeichnet wie üblich den Realteil einer komplexen Zahl z
Man spricht in diesem Falle von der Gaußschen Approximationsaufgabe
Zur Bezeichnung Projektionssatz s. Bern, im Anschluß an den Beweis von Satz 1.16
E. Schmidt (1876–1959), deutscher Mathematiker
Zur klassischen Theorie der Fourierreihen s. Burg/Haf/Wille [19], Abschn. 5.3
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© 2004 B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
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Burg, K., Haf, H., Wille, F. (2004). Grundlegende Räume. In: Partielle Differentialgleichungen. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-96788-6_1
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-96788-6_1
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-519-22965-0
Online ISBN: 978-3-322-96788-6
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