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Geometrie

  • W. Hackbusch
  • H. R. Schwarz
  • E. Zeidler

Zusammenfassung

Die Geometrie der Antike war die euklidische Geometrie, die über 2 000 Jahre lang die Mathematik beherrschte. Die berühmte Frage nach der Existenz nichteuklidischer Geometrien führte im 19. Jahrhundert zur Entwicklung einer Reihe von unterschiedlichen Geometrien. Daraus ergab sich das Problem der Klassifizierung von Geometrien. Der dreiundzwanzigjährige Felix Klein löste dieses Problem und zeigte im Jahre 1872 mit seinem Erlanger Programm, wie man Geometrien mit Hilfe der Gruppentheorie übersichtlich klassifizieren kann. Man benötigt dazu eine Gruppe G von Transformationen. Jede Eigenschaft oder Größe, die bei Anwendung von G invariant (d.h. unverändert) bleibt, ist eine Eigenschaft der zu G gehörigen Geometrie, die man auch G-Geometrie nennt. Von diesem Klassifizierungsprinzip werden wir in diesem Kapitel ständig Gebrauch machen. Wir wollen die Grundidee am Beispiel der euklidischen Geometrie und der Ähnlichkeitsgeometrie erläutern.

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Literatur

  1. Das Standardwerk der modernen Geometrie und ihrer Anwendungen in der Physik ist Dubrovin, Fomenko, Novikov (1987). Klassische Standardwerke zur Geometrie sind Hilbert (1899/1987) und Klein (1926/68).Google Scholar
  2. Bär, G.: Geometrie. Eine Einführung in die analytische und konstruktive Geometrie. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Stuttgart, Leipzig: Teubner-Verlag (in Vorbereitung).Google Scholar
  3. Berger, M.: Geometry, Vols. 1, 2. Berlin: Springer-Verlag 1987.Google Scholar
  4. Dubrovin, B., Fomenko, A., Novikov, S.: Modern Geometry, Vols. 1–3. Transi. from the Russian. New York: Springer-Verlag 1985–1995.Google Scholar
  5. Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von P. Bernays. 13. Aufl. Stuttgart: TeubnerVerlag 1987. (Die erste Auflage dieses Klassikers erschien 1899.)Google Scholar
  6. Klein, F.: Vorlesungen über höhere Geometrie. Berlin: Springer-Verlag 1926. Nachdruck der 3. Aufl. 1968.Google Scholar
  7. Keller, O.: Analytische Geometrie und lineare Algebra. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1957 (mit zahlreichen Raumbildern).Google Scholar
  8. Klein, F.: Das Erlanger Programm. Hrsg.: H. Wußing. Leipzig: Geest und Portig 1974.zbMATHGoogle Scholar
  9. Klein, F.: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Bd. 1, 2. Berlin: Springer-Verlag 1926, 1927. Nachdruck 1979.Google Scholar
  10. Adams, C.: Das Knotenbuch. Einführung in die mathematische Theorie der Knoten. Übers. a.d. Engl. Heidelberg: Spektrum 1995.Google Scholar
  11. Barner, M.: Darstellende Geometrie. Begründet von U. Graf. 12. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1991. Boltjanski, V., Efremovic, V.: Anschauliche kombinatorische Topologie. Übers. a.d. Russ. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1986.Google Scholar
  12. Coxeter, H.: Unvergängliche Geometrie. Übers. a.d. Engl. 2. Aufl. Basel: Birkhäuser 1981. Crantz, P., Hauptmann, M.: Ebene Trigonometrie. 11. Aufl. Leipzig: Teubner-Verlag 1962. Crantz, P., Hauptmann, M.: Sphärische Trigonometrie. B. Aufl. Leipzig: Teubner-Verlag 1962. Fucke, R., Kirch, K., Nickel, H.: Darstellende Geometrie. 15. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag 1992.Google Scholar
  13. Gellert, W., u.a. (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. 13. Aufl. Leipzig: Bibliographisches Institut 1986.zbMATHGoogle Scholar
  14. Klix, W., Nickel, H.: Darstellende Geometrie. Leipzig: Fachbuchverlag 1994.Google Scholar
  15. Koecher, M., Krieg, A.: Ebene Geometrie. Berlin: Springer-Verlag 1993.zbMATHGoogle Scholar
  16. Lang, S., Murrow, G.: A High School Course. 2nd edition. New York: Springer-Verlag 1991. Livingstone, C.: Knotentheorie für Einsteiger. Übers. a.d. Engl. Wiesbaden: Vieweg 1995. Matthews, V.: Vermessungskunde, Bd. 1, 2. 27., 16. Aufl. Stuttgart: Teubner-Verlag 1993.Google Scholar
  17. Als Einführung empfehlen wir Fischer (1985).Google Scholar
  18. Bär, G.: Geometrie. Eine Einführung in die analytische und konstruktive Geometrie. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Stuttgart, Leipzig: Teubner-Verlag (in Vorbereitung).Google Scholar
  19. Berger, M.: Geometry, Vols. 1, 2. Berlin: Springer-Verlag 1987.Google Scholar
  20. Brieskorn, E.: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Bd. 1, 2. Wiesbaden: Vieweg 1983, 1985. Eisenreich, G.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. 3. Aufl. Berlin: Akademie-Verlag 1991.Google Scholar
  21. Fischer, G.: Analytische Geometrie. Wiesbaden: Vieweg 1985.Google Scholar
  22. Klingenberg, W.: Lineare Algebra und Geometrie. 2. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1990.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  23. Als Einführung empfehlen wir Fischer (1985).Google Scholar
  24. Beutelsbacher, A., Rosenbaum, U.: Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zur Anwendung. Wiesbaden: Vieweg 1992.CrossRefGoogle Scholar
  25. Coxeter, H.: Projective Geometry. 2nd edition. New York: Springer-Verlag 1995.Google Scholar
  26. Fischer, G.: Analytische Geometrie. Wiesbaden: Vieweg 1985.Google Scholar
  27. Als Einführung empfehlen wir Schöne (1990), do Carmo (1992) und Jost (1994), (1995). Standardwerke der modernen Differentialgeometrie sind Kobayashi, Nomizu (1963) und Dubrovin, Fomenko, Novikov (1985/1995). Man vergleiche auch die Literatur zu den Kapiteln 15 bis 19 im TEUBNERTASCHENBUCH der Mathematik, Teil I I.Google Scholar
  28. Berger, M., Gostiaux, B.: Differential Geometry. Berlin: Springer-Verlag 1988.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  29. Carmo, M.: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Übers. a.d. Portug. Wiesbaden: Vieweg 1992.Google Scholar
  30. Dubrovin, B., Fomenko, A., Novikov, S.: Modern Geometry, Vols. 1–3. Transl. from the Russian. New York: Springer-Verlag 1985–1995.Google Scholar
  31. Guillemin, V., Pollack, A.: Differential Topology. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall 1974. Isham, C.: Modern Differential Geometry for Physicists. Singapore: World Scientific 1993.Google Scholar
  32. Jost, J.: Differentialgeometrie und Minimalflächen. Berlin: Springer-Verlag 1994.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  33. Jost, J.: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag 1995. Klingenberg, W.: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie. Berlin: Springer-Verlag 1973.Google Scholar
  34. Kobayashi, S., Nomizu, K.: Foundations of Differential Geometry, Vols. 1, 2. New York: Wiley 1963, 1965.Google Scholar
  35. Schöne, W.: Differentialgeometrie. 5. Aufl. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Leipzig: Teubner-Verlag 1990.zbMATHGoogle Scholar
  36. Struik, D.: Lectures on Classical Differential Geometry. 2nd edition. New York: Dover 1988.zbMATHGoogle Scholar
  37. Zeidler, E.: Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Vol. IV: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag 1988.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  38. Brieskorn, E., Knörrer, H.: Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser 1981.zbMATHGoogle Scholar
  39. Fischer, G.: Ebene algebraische Kurven. Wiesbaden: Vieweg 1994.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  40. Hauser, W., Burau, W.: Integrale algebraischer Funktionen und ebene algebraische Kurven. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1958.zbMATHGoogle Scholar
  41. Rothe, R.: Höhere Mathematik, Bd. 1. 20. Aufl. Leipzig: Teubner-Verlag 1962 (ebene Kurven in der Technik).Google Scholar
  42. Als Einführung in die Gedankenwelt der algebraischen Geometrie empfehlen wir Brieskorn, Knörrer (1981).Google Scholar
  43. Das Standardwerk der modernen algebraischen Geometrie ist Hartshorn (1983). Hier wird von Beginn an mit Schemata gearbeitet. Ferner ist Eisenbud (1994) das Standardwerk für die Methoden der kommutativen Algebra in der algebraischen Geometrie.Google Scholar
  44. Die klassische algebraische Geometrie findet man in van der Waerden (1973). Ein Leser, der die Wechselwirkung zwischen konkreten Beispielen und der Theorie der Schemata kennenlernen will, sollte zu Shafarevich (1994) greifen.Google Scholar
  45. Brieskorn, E., Knörrer, H.: Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser 1981.zbMATHGoogle Scholar
  46. Brodmann, M.: Algebraische Geometrie. Basel: Birkhäuser 1989.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  47. Eisenbud, D.: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Berlin: Springer-Verlag 1994.Google Scholar
  48. Griffiths, P., Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. New York: Wiley 1978.zbMATHGoogle Scholar
  49. Hartshorne, R.: Algebraic Geometry. 3rd edition. New York: Springer-Verlag 1983.zbMATHGoogle Scholar
  50. Schafarewitsch, I.: Grundzüge der algebraischen Geometrie. Übers. a.d. Russ. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1972.CrossRefGoogle Scholar
  51. Shafarevich, I.: Basic Algebraic Geometry. Vol. 1: Varieties in Projective Space. Vol. 2: Schemes and Complex Manifolds. Transl. from the Russian. 2nd edition. Berlin: Springer-Verlag 1994.Google Scholar
  52. Waerden, B., van der: Einführung in die algebraische Geometrie. 2. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1973.Google Scholar
  53. Das Standardwerk ist Dubrovin, Fomenko, Novikov (1985). Man vergleiche auch die Literaturhinweise zu den Kapiteln 15 bis 19 im TEUBNER-TASCHENBUCH der Mathematik, Teil I I.Google Scholar
  54. Abraham, R., Marsden, J.: Foundations of Mechanics. Reading, Massachusetts: Benjamin Company 1978.Google Scholar
  55. Aebischer, B., u.a.: Symplectic Geometry. An Introduction. Basel: Birkhäuser 1994.CrossRefGoogle Scholar
  56. Benn, I., Tucker, R.: An Introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics. Bristol, England: Adam Hilger 1987.Google Scholar
  57. Bredon, G.: Topology and Geometry. New York: Springer-Verlag 1993.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  58. Constantinescu, F., de Groote, H.: Geometrische und algebraische Methoden der Physik: Supermannigfaltigkeiten und Virasoro-Algebren. Stuttgart: Teubner-Verlag 1994.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  59. Donoghue, J., Golowich, E., Holstein, B.: Dynamics of the Standard Model (for Elementary Particles). Cambridge, England: Cambridge University Press 1992.CrossRefGoogle Scholar
  60. Dubrovin, B., Fomenko, A., Novikov, S.: Modern Geometry, Vols. 1–3. Transl. from the Russian. New York: Springer-Verlag 1985–1995.Google Scholar
  61. Gilbert, J., Murray, M.: Clifford Algebras and Dirac Operators in Harmonic Analysis. Cambridge, England: Cambridge University Press 1991.CrossRefGoogle Scholar
  62. Green, M., Schwarz, J., Witten, E.: Superstrings, Vols. 1, 2. Cambridge, England: Cambridge University Press 1987.Google Scholar
  63. Guillemin, V., Sternberg, S.: Symplectic Techniques in Physics. Cambridge, England: Cambridge University Press 1990.Google Scholar
  64. Haag, R.: Local Quantum Physics. Fields, Particles, Algebras. Berlin: Springer-Verlag 1993.Google Scholar
  65. Hofer, H., Zehnder, E.: Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics. Basel: Birkhäuser 1994. Isham, C.: Modern Differential Geometry for Physicists. Singapore: World Scientific 1993.Google Scholar
  66. Kaku, M.: Quantum Field Theorie. New York: Oxford University Press 1993.Google Scholar
  67. Kauffman, L.: Knoten. Übers. a.d. Engl. Heidelberg: Spektrum 1995.Google Scholar
  68. Knörrer, H.: Geometrie. Geometrische Anschauung auf hohem Niveau. Wiesbaden: Vieweg 1995. Kostrikin, A., Manin, Yu.: Lineare Algebra und Geometrie (russisch). Moskau: Nauka 1986.Google Scholar
  69. Lawson, H., Michelsohn, M.: Spin Geometry. Princeton, New Jersey: Princeton University Press 1989. Lüst, D., Theissen, S.: Lectures on String Theory. New York: Springer-Verlag 1989.Google Scholar
  70. Nakahara, M.: Geometry, Topology, and Physics. Bristol, England: Adam Hilger 1990.CrossRefGoogle Scholar
  71. Sattinger, D., Weaver, O.: Lie Groups and Algebras with Applications to Physics, Geometry, and Mechanics. 2nd edition. New York: Springer-Verlag 1990.Google Scholar
  72. Sternberg, S.: Group Theory and Physics. Cambridge, England: Cambridge University Press 1994. Sternberg, S., Snider, S.: Quantum Groups. Cambridge, Massachusetts: International Press 1993. Straumann, N.: Allgemeine Relativitätstheorie und relativistische Astrophysik. 2. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1988.Google Scholar
  73. Waerden, B., van der: Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik. Berlin: Springer-Verlag 1932 (ein Klassiker).Google Scholar
  74. Ward, R., Wells, R.: Twistor Geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press 1990.Google Scholar
  75. Weyl, H.: Raum, Zeit, Materie. 8. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1993.Google Scholar

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Authors and Affiliations

  • W. Hackbusch
  • H. R. Schwarz
  • E. Zeidler

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