Anwendungen

Zusammenfassung

In Nr. 3 hatten wir gesehen, daß man das Sturm-Liouvillesche Problem (3.16) unter den Voraussetzungen (3.17) und der Annahme, 0 sei kein Eigenwert, in die Gleichung

$$\left( {I - \lambda K} \right)x = 0\quad oder\;also\quad \left( {\mu I - K} \right)x = 0\quad \left( {\mu : = 1/\lambda \;} \right)$$

(33.1)

verwandeln kann, wobei der Operator K:C[a,b]→C[a,b] durch

$$\left( {Kx} \right)\left( s \right): = \int\limits_a^b {k\left( {s,t} \right)} x\left( t \right)dt\quad mit\quad k\left( {s,t} \right): = G\left( {s,t} \right)r\left( t \right)$$

(33.2)

definiert war; G bedeutet die Greensche Funktion von (3.16). Dabei hatte sich noch ergeben, daß K bezüglich des Innenproduktes

$$\left( {x|y} \right): = \int\limits_a^b {r\left( t \right)} x\left( t \right)y\left( t \right)$$

(33.3)

auf C[a,b] symmetrisch ist (man erinnere sich hier und im folgenden daran, daß r(t) auf ganz [a,b] positiv sein soll). Wir könnten nun die Eigenwerttheorie des Kapitels V auf K anwenden, wenn K auf dem mit der Innenproduktnorm

$$\left| x \right| = {\left[ {\int\limits_a^b {r\left( t \right){x^2}\left( t \right)} dt} \right]^{1/2\;}}$$

(33.4)

versehenen Vektorraum C[a,b] kompakt wäre. Dies ist in der Tat der Fall.