Spektraltheorie in Banachräumen und Banachalgebren

Zusammenfassung

Schon frühzeitig sind wir auf das Phänomen gestoßen, daß schwergewichtige Probleme der Physik und Technik auf Fredholmsche Integralgleichungen

$$x(s) - \lambda \int\limits_a^b {k(s,t)x(t)dt = y(s)\quad oder\;also\quad (I - \lambda K)x = y}$$

mit einem Parameter λ führen — ein Parameter, der ungekünstelt aus der Natur dieser Probleme entspringt und von dem nun seinerseits das Lösungsverhalten der Integralgleichung entscheidend abhängt: es ändert sich, wenn sich λ ändert. Über dieses wechselnde Lösungsverhalten sind wir in den Nummern 79 und 80 zur völligen Klarheit gelangt, wenn nur K kompakt ist — ohne im übrigen unbedingt ein Integraloperator sein zu müssen. Beachten wir nämlich, daß mit K auch λK kompakt ausfällt, lassen wir ferner den völlig uninteressanten Wert λ = 0 außer Betracht und bringen dann die Gleichung (I−λK)x=y auf die Form

$$(\mu I - K)x = z\quad mit\quad \mu : = \frac{1}{\lambda },\quad z: = \frac{y}{\lambda },$$

(95.1)

so wissen wir, daß (95.1) für jedes μ ≠0, das kein Eigenwert von K ist, durchgängig und eindeutig lösbar ist und die Lösung überdies noch stetig von der rechten Seite abhängt; die Eigenwerte, in denen dieses höchst befriedigende Verhalten gestört wird, bilden eine ganz einfach strukturierte Menge, nämlich eine Nullfolge (wenn es denn überhaupt unendlich viele gibt) — und selbst in ihnen bleibt die Lage noch völlig übersichtlich: sie wird beherrscht von den schlichten Lösungssätzen der Nr. 79.