Numerische Verfahren für die diskretisierten Probleme

Zusammenfassung

Bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen werden dem Ausgangsproblem zur Ermittlung einer entsprechenden Lösungsfunktion endlichdimensionale algebraische Gleichungssysteme für die in der jeweiligen Diskretisierungstechnik zu bestimmenden endlich vielen Parametern zugeordnet. Bei einem Differenzenverfahren für elliptische Probleme (vgl. Kapitel 2) werden z.B. Gleichungssysteme für Näherungswerte υ _i für die gesuchte Lösung υ(.) in Gitterpunkten x _i , i = 1(1)N erzeugt. Analog liefern Finite-Elemente-Verfahren (vgl. Kapitel 4) Gleichungssysteme, die Ritz-Galerkin-Gleichungen, zur Bestimmung der Koeffizienten des gewählten Ansatzes. Dabei werden in beiden Fällen linearen Differentialgleichungen endlichdimensionale lineare Gleichungssysteme zugeordnet. Diese Gleichungssysteme besitzen jedoch folgende spezifische Eigenschaften:

• eine sehr große Dimension;

• eine schwach besetzte Koeffizientenmatrix;

• eine schlechte Kondition.