Heisenberg-Modell

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wird das in Kap. V genauer physikalisch begründete Heisenberg-Modell auf Aussagen über magnetische Phänomene hin untersucht. Magnetische Systeme, bei denen die permanenten magnetischen Momente durch lokalisierte Elektronen bewirkt werden, werden sicher sehr realistisch durch dieses Modell beschrieben.

Wir beginnen mit einer eingehenden Diskussion des Modell-Hamiltonoperators, besprechen insbesondere einige häufig verwendete Transformationen der Spinoperatoren (Pauli, Holstein-Primakoff, Dyson-Maléev) und listen schließlich die wichtigsten Erweiterungen des eigentlichen Heisenberg-Modells auf.

Das Heisenberg-Modell ist allgemein nicht exakt lösbar, nur für Spezialfälle sind strenge Aussagen möglich. Wir besprechen hier das Mermin-Wagner-Theorem, das eine spontane Magnetisierung im ein- oder zweidimensionalen,isotropen Heisenberg-Modell ausschlieSt. Ferner zeigen wir, daß Ein-Magnonen-Zustände exakte Eigenzustände des Modell-Hamilton-Operators sind.

Mit Hilfe von einfachen Molekularfeld-Näherungen behandeln wir approximativ den Ferromagneten, Antiferromagneten und Ferrimagneten, ohne Einschränkungen bzgl. äußerer Parameter wie Temperatur T und Feld B_o zu machen. Als Ergebnisse erhalten wir Größen wie die Magnetisierung, die Suszeptibilität und die spezifische Wärme als Funktionen von T und B_o. Die sich anschließen-den Spinwellentheorien sine Tieftemperatur-Näherungen.Insbesondere die lineare Spinwellentheorie, die für den isotropen Ferromagneten, den Antiferromagneten und den Ferromagneten mit Dipol-Wechselwirkung entwickelt wird, ist nur bei sehr tiefen Temperaturen glaubwürdig, da sie wechselwirkungsfreie Spinwellen (Magnonen) voraussetzt. Die „renormierte“ Spinwellentheorie, die wir für den Ferromagneten diskutieren werden, berücksichtigt in erster Näherung die Wechselwirkungen zwischen den Magnonen und kann deshalb auch für etwas höhere Temperaturen herangezogen werden.

Während Spinwellentheorien letztlich doch auf den Tieftemperaturbereich beschränkt ist, gilt die Molekularfeld-Näherung zwar für alle Temperaturen, ist in der Regel jedoch zu grob. Einen breiten Raum werden deshalb zum Abschluß dieses Kapitels die Greenschen Funktionen des Heisenberg-Spinsystems einnehmen, mit deren Hilfe wir detailliertere Auskunft für hohe (T >> T_c),tiefe (T << T_c) und kritische (T ≈ T_c)Temperaturen ableiten werden.