Anhang: Differentialformen

Zusammenfassung

Das Rechnen mit Differentialen ist fast so alt wie die Analysis selbst, vor allem in der Physik wurde häufig davon Gebrauch gemacht. Falsche Interpretationen der Differentiale, z. B. als „unendlich kleine Größen“, brachten aber diese „physikalische Mathematik“ bei vielen Mathematikern in Mißkredit, auch wenn die Rechenergebnisse richtig waren. Erst in diesem Jahrhundert wurde eine mathematisch befriedigende Theorie der Differentialformen k-ten Grades entwickelt, deren Anfänge mit den Namen von E. Goursat, E. Cartan und E. Kähler verbunden sind [26]. Inzwischen findet diese Theorie eine zunehmende Anwendung in der Physik, z. B. in der Elektrodynamik [27]. Die einfachsten Differentialformen sind die sog. Pfaffschen Formen, die sich als homogene Differentialformen 1. Grades einordnen lassen. Sie wurden von J. F. Pfaff im Jahre 1815 bei der Untersuchung des Zusammenhanges zwischen Lösungen von partiellen DGn 1. Ordnung und Systemen von gewöhnlichen DGn eingeführt und später auf die Hamilton-Jacobi-Theorie und die Theorie der kanonischen Transformationen angewandt. Dabei spielt eine spezielle 2-Form eine Rolle, die man bilineare Kovariante nannte und die in der heutigen Bezeichnungsweise eine Differentialform 2.