Zusammenfassung
Bisher haben wir uns beschäftigt mit der Frage nach den Kräften bzw. Kraftgrößen, die in einem Tragwerk auftreten. Dadurch, daß wir unsere Untersuchungen beschränkten auf statisch bestimmte Systeme, waren wir in der Lage, diese Frage vollständig zu beantworten, ohne uns um die dabei auftretenden Verformungen zu kümmern.
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Literatur
Bei der Darstellung verformter Bauteile bzw. Tragwerke werden wir also stark übertreiben müssen, wenn sich der verformte Zustand vom unverformten unterscheiden soll.
Der Leser möge sich nicht irritieren lassen dadurch, daß die Ergänzungsarbeit genau so groß ist wie die Eigenarbeit. Das liegt am “Elastizitätsgesetz” P=c1s; bei anderen Gesetzen tauchen hier andere — verschiedene — Werte auf.
Wir setzen voraus, daß die Formänderungen auf Grund der Stützennachgiebigkeit gering sind und können daher alle Stütz- und Schnittgrößen am unverformten System bestimmen.
Diese Bewegungen sind unabhängig von der Größe der Auflagerkräfte.
Es gibt daneben eine kubische Wärmedehnzahl, die die Volumenänderung beschreibt.
Natürlich treten auch Biegemomente und Querkräfte auf. Da sie hier nicht von Interesse sind, wurden sie nicht ermittelt.
Diese Verschiebungen bzw. Verdrehungen können i.a. durch eine geometrische Betrachtung leicht ermittelt werden. Wir besprechen hier ihre Berechnung mit Hilfe des Arbeitssatzes.
Zur Verdeutlichung: Betrachtung eines herausgeschnittenen Stabelementes bei der Formänderung zeigt, daß es weder länger wird noch sich krümmt etc.(deshalb die Bezeichnung Starrkörperbewegung). Es wird nur als Ganzes verschoben und/oder verdreht, wobei die Endquerschnitte ihre Lage zueinander nicht ändern, sodaß die auf ihnen wirkenden Schnittgrößen N, M usw. dabei keine (Fremd-)Arbeit leisten.
Dieses Ergebnis gilt freilich auch für unelastische Verdrehungen.
Bild 115 zeigt das noch deutlicher.
Wir werden auch noch über die entsprechenden Einflußlinien sprechen.
genauer: der Verschiebungskomponenten senkrecht zur Stabachse ...
Es kann also auch verwendet werden bei statisch unbestimmten Tragwerken, sofern die Biegemomentenlinie funktionsmäßig bekannt ist.
Der Vorteil liegt i.a. darin, daß das dabei entstehende Gleichungssystem für die Integrationskonstanten sich leichter lösen läßt.
Der Deutlichkeit halber geben wir die unabhängige Variable mit an.
Verformungen infolge von Normalkräften werden vernachlässigt.
Bei Verwendung eines linkswendigen Koordinatensystems sind die auf Seite 141 angestellten Überlegungen auf das Vorzeichen der Querkraft auszudehnen.
Besser gesagt: ... die das Gleichgewicht am Stabelement kontrollierende Differentialgleichung M” = — q ...
Das adjungierte System unterscheidet sich vom wirklichen System durch die Art der Auflagerung.
Die Ordinaten der M/EI — Belastung bei Stabwerken haben die Dimension 1/Länge; wird diese Streckenlast zu Einzellasten konzentriert, dann sind diese Einzellasten ebenfalls dimensionslos: Länge x 1/Länge = 1.
Bei geraden Trägern mit geneigter Stabachse interessiert vor allem im Hinblick auf Durchbiegungsnachweise i.a. nur die Verschiebung senkrecht zur Stabachse; das ist nämlich die resultierende Verschiebung.
Es können freilich beliebig viele Ordinaten berechnet werden, wenn (Portsetzung) mit entsprechend vielen W-Gewichten gearbeitet wird.
Tritt irgendwo eine Gleichstreckenlast auf, so. ist die Momentenlinie in diesem Bereich durch eine Parabel begrenzt, was zu geringfügig veränderten Ausdrücken führt.
Dieser Satz erscheint zunächst trivial und tatsächlich ist die Aussage dieses Prinzips auch weitreichender. Während für eine allgemeine Diskussion die Kenntnis der Variationsrechnung erforderlich ist, läßt sich hier grob dieses sagen: Die bei der v.V. geleisteten virtuellen Arbeiten stellen einen Zuwachs zu den entsprechenden Arbeiten der Kräf-
Dieses Ergebnis kann freilich auch über eine “statisch unbestimmte Rechnung”, wie wir sie in TM 4 zeigen, gefunden werden. Der dabei anfallende Rechenaufwand ist wesentlich größer als der hier erbrachte.
Die hier betrachteten Lasten P1 bis Pn müssen also statisch unabhängig voneinander sein. Diese Forderung schließt insbesondere Stützgrößen statisch bestimmter Systeme aus.
Wodurch sich diese beiden Gruppen von Tragwerken im Hinblick auf dies “Integrationsverfahren” unterscheiden, werden wir in TM 4 herausfinden.
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© 1974 B. G. Teubner, Stuttgart
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Wetzell, O.W. (1974). Die Berechnung elastischer Verformungen. In: Technische Mechanik für Bauingenieure. Teubner Studienskripten Bautechnik. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-96627-8_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-96627-8_3
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-519-00016-7
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