Grundlegung der Arithmetik

Zusammenfassung

Die Arithmetik hat es mit dem Zahlbegriff zu tun. Wir pflegen diesen Begriff aber nicht gleich in seiner allgemeinsten Form, als komplexe Zahl, als Grundbegriff an die Spitze zu setzen, sondern entwickeln diesen Begriff in allmählichem Aufstiege von den natürlichen Zahlen ausgehend, d. h. also von den Zahlen 1, 2, 3 usf. An die Stelle dieses genetischen Verfahrens¹) kann man auch genau so wie in der Geometrie ein axiomatisches setzen, indem man die Zahl gleich in ihrer allgemeinsten Form als Grundbegriff gegeben bzw. durch die Gesamtheit der Axiome definiert ansieht; darüber wird später noch ein Wort gesagt. Man kann schließlich die Grundlegung der Arithmetik tiefer suchen, indem man den Zahlbegriff auf einem noch primitiveren Begriff aufbaut, nämlich dem der Menge. Die Dinge, die zu einer Menge gehören, können Zahlen, aber auch z. B. Punkte, Gerade usf. sein. Wir werden auf einige Grundtatsachen der Mengenlehre nur im Hinblick auf die eine Frage eingehen, die sich auf das Unendliche des Zahlbereiches bezieht.