Zusammenfassung
Ein Kalkül ist ein System von Anweisungen/Konstruktionen und Übereinkünften, das geregelte Austauschprozesse von Hinweisformen, d.h. von Ausdrücken erlaubt. Der Kalkül, aus dem in diesem Kapitel ein weiterer Kalkül ‚herausgenommen‘ wird, ist die Primäre Arithmetik. Der neue, aus dem arithmetischen Kalkül herausgenommene algebraische Kalkül meint ebenfalls ein Generierungssystem. Allerdings bezieht es sich nicht mehr auf die beiden Seiten der Form der Unterscheidung als Referenzpunkt, sondern auf die Resultate der Arithmetik. Der neue Kalkül wird ‚aus dem (alten) Kalkül herausgenommen‘, weil in ihm erstens der Austauschprozess aus der Arithmetik übernommen und als algebraisches Berechnen (um)formuliert wird. Zweitens werden die beiden arithmetischen Gleichungen aus T8 und T9 aus ihrem Entstehungskontext heraus genommen und zu den Initialgleichungen des neuen, algebraischen Systems gemacht.
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Literatur
Man könnte Operator mit ‚Unterschied-Macher‘ oder ‚Unterscheider‘ übersetzen. Dann ließe sich formulieren, dass der Haken seine Bedeutung als Wertanzeiger verliert und lediglich seine Bedeutung als Unterscheider beibehält.
Wobei folglich natürlich jede Variable auch für ein ganzes Gefüge stehen kann.
Die Substitutionsregel drückt den Sonderfall aus, dass alle Vorkommnisse eines Ausdrucks oder einer Variable e durch einen wertgleichen anderen Ausdruck f in formidentischen Gefügen ausgetauscht werden dürfen, und zwar, weil diese formidentischen Gefüge erst durch den Austausch der Variablen entstehen. Sie besagt also nichts über den Austausch wertverschiedener Variablen in formidentischen Gefügen.
Im Text heißt es: Die arithmetische Substitutionsübereinkunft werde hier nur wieder (ein)gesetzt, allerdings zusammen mit einer Folgerung, einem Schluss (‚inference‘, nicht ‚consequence‘), der aus den Repräsentationstheoremen gezogen werden kann. Die Substitutionsübereinkunft (LoF:8) besagt, dass wertgleiche Arrangements in Ausdrücken ausgetauscht werden dürfen. Repräsentationstheoreme heißen die Theoreme 1 mit 4, die nachweisen, dass für alle erlaubten Zeichen die Eindeutigkeit ihres Hinweischarakters, d.h. auf welche der beiden Seiten der ersten Unterscheidung sie hinweisen, gegeben ist.
Anschlusstheoreme heißen die Theoreme 8 und 9, in denen bereits (arithmetische) Buchstaben verwendet werden, weil sie die Äquivalenz zweier Gefüge unabhängig von den konkreten Werten, die sie anzeigen, herausstellen.
(SK) In der Einführung zur ersten Ausgabe schreibt Spencer Brown: „A point of interest ... is the development of the idea of a variable solely from that of the operative constant. This comes from the fact, that the algebra represents our ability to consider the form of an arithmetical equation irrespective of the appearance, or otherwise, of this constant in certain specified places.“ LoF:xxii.
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© 2004 VS Verlag für Sozialwissenschaften/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
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Schönwälder, T. (2004). A Calculus Taken out of the Calculus. In: George Spencer Brown. VS Verlag für Sozialwissenschaften. https://doi.org/10.1007/978-3-322-95679-8_9
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-95679-8_9
Publisher Name: VS Verlag für Sozialwissenschaften
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