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Equations of the Second Degree

  • Katrin Wille
Chapter
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Zusammenfassung

Eine entscheidende Regel, die in der Arithmetik und Algebra befolgt wurde, ist die, dass alle gegebenen Ausdrücke endlich sein sollten. Die Endlichkeit von Ausdrücken bezieht sich auf die endliche Anzahl von ‚crosses‘ und auf die endliche Anzahl von Umformungsschritten. Diese in Theorem 1 ausgedrückte und in den bisherigen Kanones zugrunde gelegte Regel ist die Bedingung dafür, dass der Wert von Ausdrücken bestimmt werden kann. Dies geschieht durch die Umformung eines Ausdrucks in einen äquivalenten Ausdruck in endlich vielen Schritten. Diese Implikation der endlich vielen Schritte in Theorem 1 kann als Kanon 9 (also eine Art Metaanweisung) formuliert werden: Die Regel der ‚Remonstration‘ besagt, dass jede Demonstration auf einer endlichen Zahl von Schritten beruht.

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Literatur

  1. 1.
    Vgl. den Kommentar zum sechsten Kapitel sowie LoF:36.Google Scholar
  2. 2.
    Der Begriff ‚Echelon‘ wird im sechsten Kapitel als Name für C7 verwendet. Bei der Verwendung an dieser Steile wird aber nicht C7 aufgerufen, Echelon ‘ steht hier allgemeiner für einen Ausdruck, bei dem sich ein Staffelungsmuster erkennen lässt.Google Scholar
  3. 3.
    Vgl. den Kommentar zum vierten Kapitel sowie LoF:15.Google Scholar
  4. 4.
    Vgl. die Notes zum elften Kapitel LoF:99 sowie von der Struktur her ähnlich den ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der besagt, dass es in der Arithmetik Sätze gibt, die im Peano-schen Axiomensystem weder beweisbar noch widerlegbar sind. Es gibt einen wahren arithmetischen Satz, der nicht beweisbar, nicht widerlegbar, also unentscheidbar ist. Dies zeigt, dass die Begriffe der Wahrheit und der Beweisbarkeit auseinander fallen. Es gibt ‚mehr‘ arithmetische Wahrheiten als beweisbare Sätze. Vgl. genauer Link/ Niebergall:124ff.Google Scholar
  5. 5.
    Vgl. die Notes zum elften Kapitel sowie LoF:98f.Google Scholar
  6. 6.
    Noch in der Auflage der Laws of Form von 1979 (die in der Druckgeschichte 8. Auflage, hier bei E.P. Dutton Paperback, New York) findet sich ein genauerer Hinweis zur Klassifikation von Gleichungen verschiedenen Grades: Gleichungen ohne ‚Re-entry‘ und damit ohne unlösbare Unbestimmtheit heißen Gleichungen ersten Grades, Gleichungen mit einem ‚Re-entry‘ sollen Gleichungen 2. Grades genannt werden, und so weiter. Dieser Satz ist in der Auflage von 1994 gestrichen (die in der Druckgeschichte 9. Auflage, bei Cognizer Co., Portland, Ohio). Der Hinweis findet sich auch in der internationalen Ausgabe von 1997 (die in der Druckgeschichte 10. Auflage, bei Bohmeier, Lübeck) nicht mehr.Google Scholar
  7. 7.
    Vgl. Introduction, LoF:xxiv. In der Sprache der formalen Logik würde man E2 als Tautologie betrachten, die egal bei welcher Belegung ihrer Variablen immer wahr ist. Wittgenstein nennt Tautologien im Tractatus deshalb sinnlos, sie können nicht wahr oder falsch sein und transportieren deshalb keinen Sinn. Vgl. z.B. 4.461.Google Scholar
  8. 8.
    Vgl. Introduction, LoFixxiv. In der Sprache der formalen Logik würde man E3 (m = n) als Kontradiktion betrachten, in konditionaler Formulierung ‚wenn m, dann n‘ oder ‚wenn n, dann m‘ als ParadoxicGoogle Scholar
  9. 9.
    Vgl. Preface to the First American Edition, LoF:xivf. „What we do in Chapter 11 is extend the concept to Boolean algebras, which means that a valid argument may contain not just three classes of statement, but four: true, false, meaningless, and imaginary. The implications of this, in the fields of logic, philosophy, mathematics, and even physics, are profound.“ LoF:xv. Für den Indikationenkalkül bedeutet das die Möglichkeit von drei Werten, ‚marked‘, ‚unmarked‘ und ‚imaginary‘. Die Erweiterung durch die imaginären Werte soll auch eine Lösung für die selbst-referentiellen Paradoxa in der Logik, die durch die Typentheorie vermieden werden sollen, bereitstellen.Google Scholar
  10. 10.
    Vgl. den Kommentar zum achten Kapitel sowie LoF:47f.Google Scholar
  11. 11.
    Vgl. LoF:60, Figure 1.Google Scholar
  12. 12.
    Vgl. den Kommentar zum ersten Kapitel sowie LoF:2.Google Scholar
  13. 13.
    Vgl. den Kommentar zum achten Kapitel.Google Scholar
  14. 14.
    Spencer Brown meint vor allem die Typentheorie Bertrand Russells, vgl. dazu Introduction LoF:xxv.Google Scholar
  15. 15.
    Vgl. AUM1,9.Google Scholar
  16. 16.
    Vgl. AUM 1,7.Google Scholar
  17. 17.
    Vgl. AUM 1,9.Google Scholar
  18. 18.
    Vgl. AUM 1,8 (Abschnitt Flackern (Fluttering)) „sowie AUM 4,3. Spencer Brown spricht hier von einer ‚Mathematik der Vibration‘: „As we know, the mathematics of vibrations is always the equations with the imaginary value — if it is, it isn’t, it it isn’t, it is.“ An anderer Stelle heißt es ähnlich: „When you first construct time, all that you are defining is a state, that, if it is one state, it is another. Just like a clock, if it is tick, therefore it is tock. But this time is the most primitive of all times, because the intervals are neither short nor long; they have no duration.“ AUM 1,9.Google Scholar
  19. 19.
    Vgl. AUM l,9ff. sowie AUM 4,3.Google Scholar
  20. 20.
    Vgl. AUM 1,9.Google Scholar
  21. 21.
    Spencer Brown ordnet negatives Feedback den ‚ungeradzahligen Re-entries‘ zu und positives Feedback den ‚geradzahligen Re-entries‘, vgl. AUM 1, 8.Google Scholar
  22. 22.
    Dadurch werden auch pragmatisch Möglichkeiten einer schaltalgebraischen Interpretation des erweiterten Kalküls skizziert, in der die Struktur des ‚Re-entry‘ die Basis für zentrale Leistungen verschiedener Zählfunktionen darstellen soll, vgl. H. A Kontexte der Laws of Form. Google Scholar
  23. 23.
    Den Begriff der Oszillation kennen wir aus dem achten Kapitel als abwechselnde Belegung der Variable v in Theorem 16, vgl. den Kommentar zum achten Kapitel.Google Scholar
  24. 24.
    Vgl. den Kommentar zum achten Kapitel ‚principle of transmission‘.Google Scholar
  25. 25.
    Vgl. z.B. Link 2001:37.Google Scholar
  26. 26.
    Vgl. LoF:60.Google Scholar
  27. 27.
    Vgl. LoF:60 unten.Google Scholar
  28. 28.
    Hier wird implizit das ‚unwritten cross‘ aus dem zweiten Kapitel aufgerufen: Punkt p findet sich sowohl im Kreisinneren wie auch im drauf folgenden flachsten Raum. Dieser muss von einem ‚unwritten cross‘ umgeben vorgestellt werden, denn das eigentliche Kreisäußere gehört nicht zum Ausdruck der linken Seite der Gleichung.Google Scholar
  29. 29.
    Vgl. LoF:61.Google Scholar
  30. 30.
    Vgl. dazu die Wertetabelle für die Gleichung El, LoF:56.Google Scholar
  31. 31.
    Für eine technische Umsetzung kann dies als logischer Speicherbaustein verstanden werden, der einen Zustand für eine gewisse Zeit speichern und wieder zur Verfügung stellen kann, vgl. dazu z.B. Seifart 1998:153. Mann 1993:106f. zeigt die Übereinstimmung von El mit einem einfachen, asynchronen ‚RS-Flip-Flop‘, das aus zwei kreuzgekoppelten NOR-Gattern aufgebaut ist.Google Scholar
  32. 32.
    Vgl. LoF:62. In den Notes zum elften Kapitel heißt es, dass jede geradzahlig ‚sub vertierte‘ Gleichung auch geradzahlig in-formiert genannt werden könne. Sie kann als Subversion (UnterWendung) der Oberfläche oder als In-formation (Formgebung innerhalb, eigene Form innerhalb seiner selbst) gesehen werden. Diese Struktur kann als Vorläufer für kompliziertere Formen von Gedächtnis verwendet werden, vgl. LoF:100.Google Scholar
  33. 33.
  34. 34.
    Vgl. dazu und zum folgenden Punkt Mann 1993:112. Spencer Brown betont in den Notes zum elften Kapitel den Unterschied zwischen diesen quadratischen Wellenzügen eines Echelons und dem physikalischen Wellenzug, der von einem angeregten Teilchen emittiert wird. Die im elften Kapitel verwendeten Wellenzüge seien zum einen quadratisch und zum anderen ohne Energie und könnten als vereinfachte Vorläufer physikalischer Wellenzüge verstanden werden. Diese könnten erst durch die Entwicklung weiterer Unterscheidungen erreicht werden, vgl. LoF:101.Google Scholar
  35. 35.
    Vgl. zu verschiedenen Varianten von Frequenzteilern Seif art 1998:206ff.Google Scholar
  36. 36.
    Vgl.LoF:66.Google Scholar
  37. 37.
    Vgl. die Abbildungen der Gleichung E4 (LoF:67) und die Variante mit imaginären Werten (LoF:68). Diese Abbildungen können als mathematische Abstraktion von digitalen Netzwerken, die aus NOR-Gattern bestehen, aufgefasst werden, vgl. dazu Kauffman 1978:179 und zur genaueren Beschreibung und Variation des Verhaltens der Modulationsfunktion a.a.O.: 183. Spencer Brown führt in den Notes zum elften Kapitel aus, dass die beiden letzten Schaltkreise des elften Kapitels Erfindungen von ihm und seinem Bruder für British Railways sind. Damit sei zum ersten Mal ein Gerät konstruiert worden, das gänzlich mittels ‚Logik‘ zähle, ohne Kondensatoren zu benötigen. Außerdem sei damit der erste Gebrauch imaginärer Werte für reale Antworten in einem Schaltkreis vorgelegt, vgl. LoF:99. In der Einleitung zur deutschen Ausgabe werden diese Ausdrücke ‚Reduktoren‘ genannt, vgl. Spencer Brown 1997:xiv.Google Scholar
  38. 38.
    Vgl. den Kommentar zum dritten Kapitel sowie LoF: 10.Google Scholar
  39. 39.
    In den Transkripten der AUM-Konferenz gibt es eine Äußerung über die Unsicherheit, das elfte Kapitel in das Buch aufzunehmen oder nicht: „And I wasn’t quite sure whether to put it in at this point — because the book had to be finished. I wasn’t quite sure whether to put in, with this chapter, this beautiful breaking up of the truth where you get the rainbow, which turns into the Fibonacci series. You break up white light and you get the colors. You break up truth and you get the Fibonacci, [sic!]“ (AUM 2,11) (Fibonacci-Folge: Folge der Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., wobei jedes Glied gleich der Summe der beiden vorangehenden Glieder ist, allgemein: a n+1 = ann-i + an, mita1 =a2= 1)Google Scholar
  40. 40.
    Dadurch konvergieren Invarianz und kontinuierlicher Prozess.Google Scholar
  41. 41.
    Vgl. Kauffman 1987b:62 sowie AUM 2,10.Google Scholar
  42. 42.
    Vgl. Kauffmans kurze Skizze der Fraktalidee nach Mandelbrot als ein geometrisches ‚Reentry‘, 1987b:63.Google Scholar
  43. 43.
    Kauffman zeigt, dass die imaginären Werte und die imaginären Zahlen die gleichen Eigenschaften haben, vgl. Kauffman 1987b:69.Google Scholar

Copyright information

© VS Verlag für Sozialwissenschaften/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004

Authors and Affiliations

  • Katrin Wille

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