Completeness

Zusammenfassung

Wir haben im achten Kapitel gesehen, dass jede demonstrierbare Folgerung (consequence) in der Algebra auf ein beweisbares Theorem über die Arithmetik hinweisen muss. Die Ebene, die im achten Kapitel erreicht ist, zeigt den Zusammenhang zwischen Primärer Arithmetik und Primärer Algebra: jede Gleichung mit Buchstaben als Platzhalter für Werte kann je nach Standpunkt als Konsequenz der Algebra oder als Theorem über die Arithmetik aufgefasst werden. Dadurch wird deutlich, dass die Konsequenzen der Algebra die Eigenschaften der Arithmetik repräsentieren, die durch Gleichungen ausgedrückt werden können. Dieser Zusammenhang zwischen den beiden Kalkülen erschließt sich nur von einer Metaebene aus, nicht innerhalb der Primären Arithmetik und auch nicht innerhalb der Primären Algebra. Zur Metaebene, von der aus beide Kalküle in ihrem Zusammenhang betrachtet werden können, gehört das achte Kapitel wie auch das neunte und zehnte Kapitel. Bisher offen geblieben ist die Frage, ob die Algebra die Eigenschaften der Arithmetik vollständig oder nur teilweise repräsentiert. Es ist nämlich noch nicht gezeigt, dass tatsächlich jedes Theorem über die Arithmetik in der Algebra demonstriert werden kann.¹ Es steht also noch aus, die Vollständigkeit der Repräsentation der Eigenschaften der Arithmetik in der Algebra zu zeigen.²