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  • Katrin Wille
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Zusammenfassung

Wir haben im achten Kapitel gesehen, dass jede demonstrierbare Folgerung (consequence) in der Algebra auf ein beweisbares Theorem über die Arithmetik hinweisen muss. Die Ebene, die im achten Kapitel erreicht ist, zeigt den Zusammenhang zwischen Primärer Arithmetik und Primärer Algebra: jede Gleichung mit Buchstaben als Platzhalter für Werte kann je nach Standpunkt als Konsequenz der Algebra oder als Theorem über die Arithmetik aufgefasst werden. Dadurch wird deutlich, dass die Konsequenzen der Algebra die Eigenschaften der Arithmetik repräsentieren, die durch Gleichungen ausgedrückt werden können. Dieser Zusammenhang zwischen den beiden Kalkülen erschließt sich nur von einer Metaebene aus, nicht innerhalb der Primären Arithmetik und auch nicht innerhalb der Primären Algebra. Zur Metaebene, von der aus beide Kalküle in ihrem Zusammenhang betrachtet werden können, gehört das achte Kapitel wie auch das neunte und zehnte Kapitel. Bisher offen geblieben ist die Frage, ob die Algebra die Eigenschaften der Arithmetik vollständig oder nur teilweise repräsentiert. Es ist nämlich noch nicht gezeigt, dass tatsächlich jedes Theorem über die Arithmetik in der Algebra demonstriert werden kann.1 Es steht also noch aus, die Vollständigkeit der Repräsentation der Eigenschaften der Arithmetik in der Algebra zu zeigen.2

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Literatur

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    Im Index of Forms, LoF:138–141, werden Theorem 16 aus dem achten Kapitel und Theorem 17 als ‚mixed theorems‘ klassifiziert.Google Scholar
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    Vgl. Wittgenstein Philosophische Untersuchungen, § 217.Google Scholar
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    In der Sprache der formalen Logik ist mit Vollständigkeit hier ‚semantische Adäquatheit‘ gemeint. Der Herleitungsbegriff heißt eben dann semantisch adäquat oder vollständig, wenn alles, was logisch folgt, auch herleitbar ist, vgl. Link/ Niebergall 2003:119. Davon zu unterscheiden ist ein viel strengerer Sinn von Vollständigkeit als maximale Konsistenz, der besagt, dass jeder beliebige (formulierbare) Satz oder sein Gegenteil in einer Theorie beweisbar sind.Google Scholar
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    Es ist wichtig zu beachten, dass die primäre Algebra als ‚calculus for the primary arithmetic‘ bestimmt ist und damit ohne die Beziehung auf die primäre Arithmetik gar nicht zu verstehen wäre. Eine solche Bezogenheit der Algebra auf eine Arithmetik gilt gerade nicht für die Boolesche Algebren, die keine Arithmetik haben (was Spencer Brown eben als Mangel derselben auffasst und mit dem Indikationenkalkül beheben will).Google Scholar

Copyright information

© VS Verlag für Sozialwissenschaften/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004

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  • Katrin Wille

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