Zusammenfassung
Im vorangegangenen Kapitel wurden der Zustandsraum und die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Vermögensentwicklung dargestellt und analysiert. Diese Informationen sind selbst bei Risikoneutralität noch nicht ausreichend zur Bewertung der DO-Optionen. Sie genügen nur zur Bewertung der Komponente D C , die einer einfachen europäischen Kaufoption entspricht. Die Werte der Komponenten D R und D A hängen dagegen von den mit dem Ruinereignis verbundenen und bereits bei der Einführung des Bewertungskonzeptes behandelten Wahrscheinlichkeitsverteilungen 97t, 𝔐 , 𝔓 und 𝔗 ab, die hier mit dem Oberbegriff Ruinwahrscheinlichkeiten bezeichnet werden. Der Bestimmung und Analyse dieser Verteilungsfunktionen dient das vorliegende Kapitel.
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsPreview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Zu dieser Einschätzung gelangen auch Black und Cox (1976), S. 355, sowie Bhattacharya und Mason (1981), S. 284.
Die daraus resultierende Zerlegung der Verteilungsfunktion des Vermögens wurde auch von Black und Cox (1976) verwendet.
Vgl. auch die Vorgehensweise bei Cox und Miller (1965), S. 210 ff.
Näheres zu diesen Begriffen findet man beispielsweise bei Cox und Miller (1965), S. 22 ff. sowie Chung (1985), Kapitel 8.
Vgl. hierzu die Arbeit von Bhattacharya und Mason (1981), die ihre Resultate mittels der Chapman-Kolmogorov-Gleichung ableiten.
Dadurch gelangt man mit dem in der vorliegenden Arbeit eingeführten verschiebbaren Prozeß bei Brownscher Parameteranpassung viel leichter und anschaulicher zum Ziel als über die Chapman-Kolmogorov-Gleichung.
Vgl. zum Reflexionsprinzip und seinen Anwendungen beispielsweise Feller (1968), S. 68–73, Prabhu (1965), S. 55 ff. sowie Papoulis (1984), S. 351 ff.
Die folgenden Überlegungen basieren auf dem Reflexionsprinzip und dem „ballot theorem”, vgl. Feller (1968), S. 72 f.
Hier und im folgenden werden Binomialverteilungen und -Wahrscheinlichkeitsfunktionen nur noch mit dem Zustandsindex als Argument geschrieben.
Die Berechnung dieser Anzahl basiert auf den Ergebnissen von Feller (1968), S. 88 ff.
Gleiche Parität bedeutet, daß entweder beide Zahlen gerade oder beide ungerade sind.
Feller leitet dieses Resultat aus der Differenzengleichung der Übergangswahrscheinlichkeiten beim Random Walk ab, vgl. Feller (1968), S. 344 ff. So gelangt auch Prabhu (1965), S. 56 f., zum gleichen Ergebnis. Cox und Miller (1965) leiten es aus der erzeugenden Funktion des Random Walk ab, vgl. S. 37.
Feller leitet den Erwartungswert des Ruinzeitpunktes aus einer Differenzengleichung ab, vgl. Feller (1968), S. 348 ff. Erwartungswert und Varianz bestimmen Cox und Miller (1965), S. 35 ff., aus der erzeugenden Funktion des Random Walk.
Wenn keine anderslautende Indizierung explizit darauf hinweist, gelten alle folgenden Verteilungen für den Vermögensraum.
In der mathematischen Literatur zu stochastischen Prozessen werden Verteilungen dieser Art meist über die Lösung eines Randwertproblems mit partiellen Differentialgleichungen bestimmt. Die zu deren Lösung erforderlichen Berechnungen geben allerdings wenig anschauliche Einsichten in die Struktur des Problems. Man vergleiche hierzu beispielsweise die Berechnungen bei Cox und Miller (1965), S. 220 ff. oder bei Papoulis (1984), S. 351 ff. Diese Techniken wurden auch zur Bewertung von DO-Optionen eingesetzt, vgl. die in Abschnitt 6.2 zitierten Arbeiten.
Die Delta-Punktion ist eine sogenannte Distribution. Einige ihrer Eigenschaften sind beispielsweise bei Jackson (1975), S. 29 ff. nachzulesen.
Zum Beweis kann man den Grenzübergang in den entsprechenden Resultaten für den Bi-nomialprozeß nach Gleichung (4.33) durchführen. Ganz anders gehen beispielsweise Cox und Miller (1965), S. 210 ff. vor. Sie benutzen einen Differentialgleichungsansatz in Verbindung mit Laplace-Transformationen.
Auch hier kann der Beweis wieder durch den Grenzübergang in den entsprechenden Resultaten für den Binomialprozeß nach Gleichungen (4.34) und (4.35) erbracht werden. Cox und Miller (1965), S. 222, gelangen mit Hilfe einer erzeugenden Funktion zu einem vergleichbaren Ergebnis.
In den Abbildungen stehen leider nicht alle im Text verwendeten Zeichen zur Verfügung. Es ist daher dort V = V t , B = B t , sigma = a, tau = r, mu = μ usw. Indizes werden durch ein vorangestelltes Unterstreichungszeichen kenntlich gemacht.
Vgl. S. 253 ff. der vorliegenden Studie.
Rights and permissions
Copyright information
© 1994 Springer Fachmedien Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Burkhardt, T. (1994). Ruinwahrscheinlichkeiten für den binomialen und Brownschen Vermögensprozeß. In: Down-and-Out Optionen. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-95429-9_4
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-95429-9_4
Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-8244-6089-2
Online ISBN: 978-3-322-95429-9
eBook Packages: Springer Book Archive