Zusammenfassung
Die Riemannsche Geometrie erlaubt es, die folgenden Begriffe einzuführen: Länge einer Kurve, Winkel zwischen zwei Kurven, Volumen eines Gebietes, Krümmung, Paralleltransport von Vektoren, geodätische Kurve (verallgemeinerte Gerade). Als wichtige Anwendung werden wir die allgemeine Relativitätstheorie betrachten. Da die Physiker die Indexschreibweise bevorzugen, behandeln wir in 16.1. die Riemannsche Geometrie zunächst in ihrer klassischen Notation bezogen auf lokale Koordinaten. Daran anschließend zeigen wir, wie sich alle Begriffe invariant definieren lassen. Alle Mannigfaltigkeiten, Abbildungen und Tensorfelder werden im folgenden als glatt vorausgesetzt (Klasse C ∞).
Jeder, der die allgemeine Relativitätstheorie verstanden hat, wird von ihrer Schönheit begeistert sein. Sie ist der Triumph des kovarianten Differentialkalküls, der von Gauß, Riemann, Ricci und Levi-Civita geschaffen wurde.
Albert Einstein (1915)
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Grosche, G., Ziegler, V., Ziegler, D., Zeidler, E. (1995). Riemannsche Geometrie und Allgemeine Relativitätstheorie. In: Grosche, G., Ziegler, V., Ziegler, D., Zeidler, E. (eds) Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-95375-9_9
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