Zusammenfassung
Die Faszination, die von der „Chaostheorie“ ausgeht, welche das sogenannte „deterministische Chaos“ untersucht, ist nicht zuletzt auf die semantische Widersprüchlichkeit der Begriffe zurückzuführen. Wie kann denn die totale Abwesenheit oder Nichterkennbarkeit von jeder Ordnung, mit der „Chaos“1 heute allgemein assoziiert wird, Gegenstand einer Theorie und in welcher Form deterministisch sein?
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Literatur
Der etymologische Ursprung wird dem griechischen xaoÇ als unendlich leerer Raum, der vor allen Dingen existierte, zugeschrieben, vgl. Schuster, H. G. (Chaos 1994) S. 1, Loistl, O.; Betz, I. (Chaostheorie 1993) S. 36f, Deser, F. (Chaos 1997) S. 12ff, Liening, A. (Systeme 1999 ) S. 118ff.
Dieses stammt von Lorenz, E. N. (Flow 1963), erschien aber im spezialisierten Journal of Atmospheric Sciences. Wie bereits angedeutet stammt das erste (konservative) chaotische Modell von H. Poincaré, welches bei seiner Konstruktion jedoch nicht numerisch untersucht werden konnte, vgl. Fn. 2 des Kapitels 4.
Vom Computer erzeugte Zeitreihen basieren auch auf deterministischen Algorithmen, werden aber mit statistischen Tests als zufällig klassifiziert. Man spricht deshalb auch von Pseudozufallszahlen, vgl. Zwicker, E. ( Simulation 1981 ) S. 390.
Vgl. Thompson, J. M. T.; Stewart, H. B. (Dynamics 1987) S. 168, Devaney, R. (Introduction 1987) S. 129ff, Jetschke, G. (Mathematik 1989) S. 127, Ott, E. (Chaos 1993) S. 23, Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. (Chaos 1998 ) S. 36, 139.
Vorgestellt von Lorenz, E. N. (Flow 1963), vgl. Thompson, J. M. T.; Stewart, H. B. (Dynamics 1987) S. 212ff, Jetschke, G. (Mathematik 1989) S. 130ff, Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (Chaos 1997) S. 362ff, Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. (Chaos 1998 ) S. 262ff.
Neben Periodenverdopplung und Intermittenz ein dritter bedeutender „Weg ins Chaos“ tritt bei mehrdimensionalen kontinuierlichen Modellen über die Hopf-Bifurkation auf (Fixpunkt — Grenzzyklus -3 Torus —* Chaos), erstmals beschrieben von Newhouse, S; Ruelle, D.; Takens, F. (Occurrence 1978), vgl. Jetschke, G. (Mathematik 1989) S. 170, Schuster, H. G. (Chaos 1994) S. 179.
Erstmals von Ruelle, D.; Takens, F. (Turbulence 1971), vgl. Kreuzer, E. (Untersuchung 1987) S. 76f, Wiggins, S. (Introduction 1990) S. 612f, Schuster, H. G. (Chaos 1994 ) S. 103f
Vgl. Devaney, R. (Introduction 1987 ) S. 50, der sich auf eindimensionale Modell konzentriert, auf S. 192 dies jedoch auf mehrdimensionale Modelle erweitert.
Vgl. Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. (Chaos 1998) S. 115, Martelli, M. ( Introduction 1999 ) S. 214.
Vgl. in gleicher Reihenfolge Wiggins, S. (Introduction 1990) S. 608, Krause, U.; Nesemann, T. (Differenzengleichungen 1999) S. 184f/Martelli, M. (Introduction 1999 ) S. 207, wobei die Autoren keine Einschränkungen auf eindimensionale Modell vornehmen.
Die Anfangsabweichung ist bei der graphischen Darstellung viel größer, so dass die Abweichungen nach weniger Iterationen schon stark wachsen.1 Eine Vergrößerung der Genauigkeit um eine Nachkommastelle (also eine Verzehnfachung) schiebt die Abweichung über den gesamten Definitionsbereich nur von Periode 10 auf 14 hinaus.
Vgl. Devaney, R. (Introduction 1987) S. 49, Wiggins, S. (Introduction 1990 ) S. 27
Vgl. Krause, U.; Nesemann, T. (Differenzengleichungen 1999) S. 185, Martelli, M. (Introduction 1999 ) S. 27, 214.
Vgl. Martelli, M. (Introduction 1999) S. 227, Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (Chaos 1997) S. 107, Loistl, O.; Betz, I. (Chaostheorie 1993) S. 58f, Ott, E. ( Chaos 1993 ) S. 131.
Vgl. Martelli, M. (Introduction 1999) S. 228f, Jetschke, G. (Mathematik 1989) S. 116f, Loistl, O.; Betz, I. (Chaostheorie 1993) S. 58f, Ott, E. (Chaos 1993) S. 55f, Schuster, H. G. (Chaos 1994) S. 24ff, Krause, U.; Nesemann, T. (Differenzengleichungen 1999) S. 187f, Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (Chaos 1997) S. 108, Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. (Chaos 1998) S. 45ff, Kreuzer, E. (Untersuchung 1987) S. 102ff, Wiggins, S. (Introduction 1990 ) S. 603ff.
Vgl. zu kurzen Darstellung von Verfahren Loistl, O.; Betz, I. (Chaostheorie 1993) S. 64ff. Einzelne Verfahren nutzen Ott, E. (Chaos 1993) S. 136ff, Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. (Chaos 1998) S. 45ff, 277ff, Martelli, M. ( Introduction 1999 ) S. 234f.
Vgl. Loistl, O.; Betz, I. (Chaostheorie 1993) S. 72f, ein ähnliches Verfahren allerdings nur zur Veranschaulichung der Anfangswertsensitivität (nicht als expliziter Algorithmus) nutzen auch Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. ( Chaos 1998 ) S. 44.
l Auch die Einschränkung auf exponentielle Divergenz zweier Zustandspfade zur Charakterisierung chaotischen Verhaltens, vgl. Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (Chaos 1997 ) S. 32, erhöht die Aussagekraft nicht, da sie sich nicht entsprechend quantifizieren lässt: ein positiver Ljapunov-Exponent beschreibt immer (per Definition) eine exponentielle Divergenz.
Vgl. z.B. Jetschke, G. (Mathematik 1989) S. 143, Ott, E. ( Chaos 1993 ) S. 132.
Vgl. z.B. Kopel, M. ( Unternehmensdynamik 1994 ) S. 140.
Vgl. Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (Chaos 1997) S. 24ff, Richter, H. ( Steuerung 2000 ) S. 22.
Vgl. explizit Kreuzer, E. (Untersuchung 1987) S. 75, Loistl, O.; Betz, I. ( Chaostheorie 1993 ) S. 17.
Vgl. Devaney, R. (Introduction 1987) S. 49. So nutzen Krause, U.; Nesemann, T. (Differenzengleichungen 1999) S. 184f und Martelli, M. (Introduction 1999 ) S. 207, wie bereits in Fn. 3 dieses Kapitels angedeutet, die dichte Limesmenge in Kombination mit instabilen Zustandspfaden für die Definition von deterministischem Chaos.
Vgl. Lorenz, H.-W. (Chaos 1985) S. 45, Thompson, J. M. T.; Stewart, H. B. (Dynamics 1987) S. 169f, Devaney, R. (Introduction 1987) S. 60ff, Ott, E. (Chaos 1993) S. 49f, Schuster, H. G. (Chaos 1994) S. 66, Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (Chaos 1997) S. 135, Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. ( Chaos 1998 ) S. 193.
Von Marotto, F. R. (Chaos 1978), vgl. Schröder, R. (Differenzengleichungen 1985) S. 150, Loistl, O.; Betz, I. (Chaostheorie 1993) S. 45ff.I Vgl. Mandelbrot, B. B. (Geometrie 1987) S. 87ff, Krause, U.; Nesemann, T. (Differenzengleichungen 1999) S. 199f, Martelli, M. ( Introduction 1999 ) S. 218.
fractus (lat.): gebrochen, vgl. Mandelbrot, B. B. (Geometrie 1987) S. 16, 27, der aber als Vater des Begriffes auf S. 373 auf die Vorläufigkeit dieser Definition hinweist, weil „Chrw(133)der angegebene Begriff Mengen ausschließt, die man aber lieber dazuzählen würde.“ Diese speziellen Fälle sind hier nicht von Interesse, aus chaostheoretischem Blickwinkel genügt diese Definition.
Z.B. „Wie lang ist die Küste Britanniens?“, „SchneeflockenChrw(133)”, aber auch eher kulturelle Phänomene wie „Preisänderung und Skaleninvarianz in der Ökonomie“, vgl. Mandelbrot, B. B. (Geometrie 1987) S. 37ff, 46ff, 350ff
Vgl. Mandelbrot, B. B. (Geometrie 1987) S. 30, Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (Chaos 1997) S. 149f, Krause, U.; Nesemann, T. ( Differenzengleichungen 1999 ) S. 198.
Vgl. Mandelbrot, B. B. (Geometrie 1987) S. 200ff, auch nach ihm „Mandelbrot-Menge“ genannt, vgl. z.B. Krause, U.; Nesemann, T. (Differenzengleichungen 1999) S. 197, Kriz, J. (Grundkonzepte 1992) S. 90ff. Fraktale Mengen können jedoch auch aus stochastischen Prozessen entstehen, vgl. Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (Chaos 1997 ) S. 156.
Vgl. Richter, P. H. (Physik 1993) S. 34, Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. ( Frontiers 1992 ) S. V III.
Vgl. Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. (Chaos 1998 ) S. 172. Das Diagramm mit den Periodenverdopplungs-Bifurkationen ist auch unübersehbar ein Fraktal, es ist jedoch kein Attraktor eines Modells, sondern einer Modellfamilie.
Vgl. zu Darstellungen Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. (Chaos 1998) S. 230, Thompson, J. M. T.; Stewart, H. B. (Dynamics 1987) S. 181f, Jetschke, G. (Mathematik 1989 ) S. 129ff.
Vgl. z.B. Loistl, O.; Betz, I. (Chaostheorie 1993) S. 83ff, Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (Chaos 1997) S. 203, Peitgen, H.-O.; Jurgens, H.; Saupe, D. (Chaos 1998) S. 297ff, Ott, E. (Chaos 1993) S. 78ff, Schuster, H. G. (Chaos 1994) S. 54ff, Worg, R. (Chaos 1993 ) S. 127ff.
Vgl. Pinkwart, A. (Chaos 1992), Schulz, D. E. (Ordnung 1993), Kopel, M. (Unternehmensdynamik 1994), Bösken, M. (Investitions-Controlling 1995), Holzkämpfer, H. (Singularitäten 1996), Deser, F. (Chaos 1997), Appelhans, D. (Unternehmensführung 1998), Meier-Kortwig, K. (Entwicklung 1998), mit etwas weiterem Fokus auch Scheurer, S. (Steuerung 1997 ), Flämig, M. (Weltbilder 1998), Liening, A. ( Systeme 1999 ).
Zu Eigenwertkriterium und Linearisierungsprinzip vgl. kurz Kopel, M. (Unternehmens¬dynamik 1994) S. 147ff (für diskrete Modelle) und Appelhans, D. (Unternehmensführung 1998) S. 227ff (für kontinuierliche Modelle), zum Verhalten linearer (kontinuierlicher) dynamischer Modelle vgl. kurz ebenda S. 229ff, Holzkämpfer, H. (Singularitäten 1996 ) S. 82ff.
Konkret in der Erweiterung des Blickwinkels auf dynamisches Verhalten allgemein über deterministisches Chaos hinaus in den Schlussfolgerungen in Kapitel 6.3.3.
Rekursiv aufgebaute Gleichungen lassen sich nicht analytisch, sondern nur numerisch lösen.“ Flämig, M. (Weltbilder 1998) S. 125 ist ebenso undifferenziert wie „Rückkopplungen führen dazu, daß der Endzustand eines Systems nicht fixiert ist, sondern jeweils zum Ausgangspunkt einer neuen Entwicklung wirdChrw(133). Unter Einfluß der Rückkopplung verändern sich die Anfangsbedingungen fortwährend selbst.” Meier¬Kortwig, K. ( Entwicklung 1998 ) S. 158.
Nur Holzkämpfer, H. (Singularitäten 1996 ) S. 257ff geht in einer beachtlichen Untersuchung der Bedeutung von Singularitäten für Unternehmen auf diese Unterscheidung ein und folgert zurecht, dass in dynamischen Modellen zwei „singuläre Ereignisse“ auftreten können: (I) als Instabilität eines Zustandspfades (Ljapunov-Stabilität) und (II) als Bifurkation (strukturelle Stabilität), vgl. ebenda S. 82ff, 288.
In Vermischung beider Sichtweisen folgern Bösken, M. (Investitions-Controlling 1995) S. 84: „Sind keine stabilen Attraktoren vorhanden, so bedeutet dieses, daß sich bei Steigerung des entscheidenden Parameters w innerhalb der logistischenChrw(133) Gleichung ein Verzweigungsprozess an bestimmten Bifurkationspunkten einstelltChrw(133)“ und Scheurer, S. (Steuerung 1997) S. 146: „Ändern sichChrw(133) die AnfangsbedingungenChrw(133) über einen bestimmten Grenzwert hinaus, beginnt das System zwischen zwei verschiedenen Attraktoren hin und her zu schwingen.” In einer Darstellung gesellschaftlicher Veränderungsprozesse mittels eines Bifurkationsdiagramms wird auf der Abzisse die Zeit (und nicht der Parameterwert abgetragen), vgl. Deser, F. (Chaos 1997) S. 78 mit Verweis auf Laszlo, E. (1992) Evolutionäres Management, Fulda, S. 112.
Zu einem chaotischen zweidimensionalen diskreten Modell, das gleich in der Zustandsdarstellung entwickelt wird, vgl. Kopel, M. (Unternehmensdynamik 1994) S. 130ff, zu einem dreidimensionalen, kontinuierlichen vgl. Appelhans, D. (Unternehmensführung 1998 ) S. 249ff.
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Büssow, T. (2003). Deterministisches Chaos. In: Chaostheorie und Unternehmenssteuerung. Entscheidungs- und Organisationstheorie. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-95347-6_6
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