Minimaleigenschaften von Extremalen

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen stellen wir für das Zweipunktproblem.Ϝ: ν → ℝ von § 2:1.1 notwendige und hinreichende Bedingungen dafür auf, dass eine gegebene Extremale u ∈ ν ein lokales Minimum von Ϝ in ν liefert. Notwendig sind zunächst Konvexitätsbedingungen für den Integranden (Legendre- und Weierstraß-Bedingung). Eine Schlüsselrolle spielt die notwendige Bedingung von Jacobi. Diese schränkt die Länge des Integrationsintervalls ein und liefert, leicht verschärft, eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines schwachen lokalen Minimums. Grundlegend hierfür sind die Begriffe Jacobi-Feld und konjugierte Stellen. Für die Theorie starker lokaler Minima wird eine an der Optik orientierte Feldkonstruktion herangezogen.