Monotone Operatoren

Zusammenfassung

Ein Ausgangspunkt für die Beschäftigung mit monotonen Operatoren und ihren Verallgemeinerungen besteht in der Idee, Existenzsätze für Operatorgleichungen und -ungleichungen nach dem Muster derjenigen aus Abschnitt 4.3, jedoch unter Verzicht auf die dort wesentliche Voraussetzung, der betreffende Operator sei als Ableitung eines konvexen Funktionals darstellbar, zu gewinnen. Die Existenz von Lösungen bei Aufgaben mit hemistetigen, koerzitiven, monotonen Operatoren wird als erstes erschlossen, wobei sogar noch nur dicht definierte Störungen zugelassen werden können. Im Zusammenhang mit diesem Existenzresultat eröffnet sich noch die Möglichkeit, eine Abschwächung der Monotoniebedingung vorzunehmen und auf diese Weise eine ihrer Verallgemeinerungen, nämlich die pseudomonotonen Operatoren einzuführen. Beide Begriffe finden ihre Rechtfertigung in der abstrakten Theorie der stationären Probleme, es stellt sich jedoch heraus, daß dieser Rahmen eine angemessene Behandlung von Aufgaben mit nur dicht definierten Operatoren, also z.B. von nichtstationären Problemen, nicht zuläßt. Dieser Mangel läßt sich erst mit Hilfe der maximal monotonen Operatoren beheben, die es dann aber auch gleich auf ganz natürliche Weise erlauben, die Existenz von Lösungen bei Aufgaben mit mengenwertigen Operatoren, also z.B. bei Kontingenzgleichungen, mit Monotoniemethoden zu studieren.