Variationsmethoden

Zusammenfassung

In Abschnitt 1.2.2 wurde gezeigt, daß die Punkte, in denen ein differenzierbares Funktional lokale Extrema besitzt, notwendig Lösungen der zugehörigen Eulerschen Gleichung sind, d.h., daß die Ableitung des Funktionals dort verschwindet. Diese notwendige Bedingung macht man in der Optimierungstheorie zur Grundlage von Methoden zur Berechnung von Extremalpunkten. Man kann daraus aber auch ein allgemeines Prinzip zur Gewinnung von Existenzaussagen für Aufgaben Tx=0 herleiten. Die Variationsmethoden bestehen nämlich darin, zu T einen Operator A zu bestimmen, so daß Ax=0 einerseits die Eulersche Gleichung eines Funktionals Φ ist, andererseits dieselben Lösungen wie Tx=0 besitzt. Um deren Existenz zu erhalten, braucht man nun hinreichende Bedingungen für lokale Extrema bei Φ.