Die Umkehrung der elementaren Funktionen

Zusammenfassung

In der reellen Analysis ist es leicht, etwa für die Funktion y = x² ein maximales Definitionsintervall für eine Umkehrfunktion anzugeben: Für y ⩾ 0 sind $x = \sqrt y$ und $x = - \sqrt y$ Umkehrfunktionen, beide sind für y > 0 differenzierbar. Im Komplexen ist die Frage nach dem natürlichen Definitionsbereich einer Umkehrfunktion von w = z² schwieriger: Obwohl es zu jedem Punkt w₀ ∈ ℂ — {0} einen Kreis D (w₀) und zwei auf D (w₀) holomorphe Funktionen f₁ und f₂ mit f₁ (w)² =f₂ (w)² = w gibt, existiert keine auf ganz ℂ — {0} holomorphe Funktion, die jedem w eine Quadratwurzel aus w zuordnet. Dieses Phänomen ist für die Umkehrung aller nur lokal injektiven holomorphen Funktionen typisch; es führt — was wir hier nicht weiter verfolgen — in die Theorie der Riemannschen Flächen. — Wir untersuchen in diesem Kapitel die Umkehrung der Potenzen und der elementaren transzendenten Funktionen; alle ihre Eigenschaften können auf das Verhalten des Logarithmus (der Umkehrung der Exponentialfunktion) zurückgeführt werden. Nebenbei wird sich eine anschauliche Interpretation der Umlaufszahl ergeben.