Holomorphe Funktionen

Zusammenfassung

Die Theorie holomorpher Funktionen unterscheidet sich fundamental von der Theorie reell differenzierbarer Funktionen: holomorphe Funktionen sind in Potenzreihen (der komplexen Variablen z) entwickelbar (§5). Die Möglichkeit hierzu liefert die Cauchysche Integraldarstellung

$$ f(z) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial G} {\frac{{f(\zeta )}}{{\zeta - z}}} d\zeta,z \in G, $$

die für holomorphe Funktionen auf geeigneten Gebieten G gilt (§ 2, 3*) und die ihrerseits auf dem Cauchyschen Integralsatz (§ 1) beruht: für eine in einem konvexen Gebiet G holomorphe Funktion $\int\limits_\gamma {f(z)dz = 0}$ wenn γ ein beliebiger geschlossener Integrationsweg in G ist. Die Paragraphen 4 bis 7 enthalten die wesentlichen Sätze über das lokale Verhalten holomorpher Funktionen: Hebbarkeit isolierter Singularitäten bei beschränkten Funktionen, Maximumsprinzip, Gebietstreue, Identitätssatz. Zur Aufstellung dieser Sätze kommt man mit der Cauchyschen Integralformel für Kreise aus; die Verallgemeinerung der Formel in § 3* ist erst für spätere Abschnitte des Buches wichtig. — Mit der so entwickelten Theorie lassen sich die Eigenschaften der in ganz ℂ holomorphen Funktionen und der reell analytischen Funktionen auf ℝ gut verstehen (§ 8, 9); insbesondere ergeben sich einfache Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra. Das Kapitel endet mit einer Einführung in die Theorie der harmonischen Funktionen; dabei stützen wir uns so weit wie möglich auf die vorher bewiesenen Sätze über holomorphe Funktionen.