Vorbemerkung

Zusammenfassung

Unter einer Integraltransformation T versteht man eine eindeutige Zuordnung f → T(f) der Form

$$ [\left( f \right)]\left( x \right) = \int\limits_D^{} {K\left( {x,y} \right)} f\left( y \right)\,dy,\quad x \in D $$

(58))

wobei D bei unseren Betrachtungen ein nicht notwendig beschränktes Intervall in ℝ ist. Damit dieser Ausdruck überhaupt sinnvoll ist, müssen die Funktion f und die Kernfunktion K geeigneten Voraussetzungen genügen. Wir wollen uns im folgenden zunächst mit zwei speziellen Integraltransformationen beschäftigen:

• (i) Mit der Fouriertransformation⁵⁹⁾

  $$ T[f\left( t \right)] = \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - i{\kern 1pt} st}}} f\left( t \right)dt,\quad s \in R $$

  d.h.

  $$ D = \left( { - \infty ,\infty } \right),\quad k\left( {s,t} \right) = \frac{1}{{2\pi }}{e^{ - i{\kern 1pt} st}}$$