Kartesische Tensoren

Zusammenfassung

Wie wir bereits gesehen haben, ist es eine grundlegende Eigenschaft der Vektoren, daß sie sich in rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystemen durch drei Komponenten darstellen lassen, die den einzelnen Achsen zugeordnet sind. Die Komponenten hängen nur von der Orientierung der Achsen ab und werden nach den Regeln (2.1) transformiert, wenn die Achsen gedreht werden. Die Tensoranalysis kann behandelt werden als eine Verallgemeinerung der Vektoranalysis auf gewisse mathematische und physikalische Größen, genannt Tensoren, zu deren vollständiger Beschreibung mehr als drei Komponenten benötigt werden. Es gibt wieder physikalisch interpretierbare Regeln, nach denen die Komponenten der Tensoren transformiert werden, wenn sich die Koordinatenachsen ändern. Um die Beschäftigung mit den Tensoren etwas zu motivieren, geben wir zuerst ein spezifisches Beispiel. Verformt man einen elastischen Körper, so wirken gewöhnlich bestimmte innere Kräfte. Im Punkt P eines solchen Körpers wähle man ein kleines ebenes Flächenelement, dessen Normale in Richtung der positiven x₁-Achse eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems Ox₁x₂x₃ liegt. Die Kraft pro Flächeneinheit auf dieses Element, die vom Material abhängt, aus dem der Körper besteht, ist ein Vektor mit drei rechtwinkligen kartesischen Komponenten, die wir σ₁₁, σ₁₂, σ₁₃ nennen wollen.