Die Finite Elemente Methode als verallgemeinertes Verfahren von Ritz

Zusammenfassung

Die mathematische Begründung der FEM erfolgt hier auf der Grundlage des Energieprinzips δП = 0 in Verbindung mit dem Ritzschen Verfahren. Es muß also zunächst ein angenähertes Energiefunktional für ein Gesamttragwerk aufgebaut werden. Diese Betrachtungsweise hat den Vorteil, daß man die Konvergenzeigenschaften des Ritzschen Verfahrens und die Bedingungen dafür auch für die FEM angeben kann. Dies ist wichtig zu wissen, da die Ansatzfunktionen manchmal exakt sein können, z.B. als Lösung der zugehörigen Eulerschen Differentialgleichung. Damit kann auch die gesamte FEM-Lösung als exakte Lösung angesehen werden (z.B. bei Balkentragwerken). In anderen Fällen (z.B. bei Scheiben) stellen die Ansatzfunktionen nur Näherungen dar, auf deren Güte man zu achten hat. Eine wichtige Grundidee bei der FEM ist die Überlegung, an Stelle der unbekannten Ansatzkoeffizienten a_i, die keine direkte anschauliche Bedeutung haben, die Verschiebungsfreiheitsgrade U einer beliebig großen Zahl von Punkten auf dem Tragwerk als Ansatzkoeffizienten zu wählen.