Unendliche Reihen

Zusammenfassung

Die Frage, wie sich eine Investition volkswirtschaftlich auswirkt, hat uns in A 7.14 auf eine Folge geführt, deren Glieder s _n im wesentlichen durch

$$ {s_{n}}{\kern 1pt} : = 1 + q + {q^{2}} + \cdots + {q^{n}}\quad (n = 0,1,2...) $$

gegeben sind. In Nr. 24 haben wir gesehen, daß die Dezimalbruchdarstellung z₀,z₁,z₂,z₃... der Zahl a bedeutet, daß die Folge mit den Gliedern

$$ {s_{n}}: = {z_{0}} + \frac{{{z_{1}}}}{{10}} + \frac{{{z_{2}}}}{{{{10}^{2}}}} + \cdots + \frac{{{z_{n}}}}{{{{10}^{n}}}}\quad (n = 0,1,2...) $$

gegen a konvergiert. Und in A 26.1 haben wir erkannt, daß die wichtige Zahl e Grenzwert einer Folge ist, deren Glieder s_n nach der Vorschrift

$$ {s_{n}}: = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \cdots + \frac{1}{{n!}}\quad (n = 0,1,2...) $$

gebildet werden. Alle diese Folgen haben ein gemeinsames Bauprinzip: Aus-gehend von einer Folge (a ₀, a_l, a₂,. . .) — im ersten Beispiel (q ^k), im zweiten (z_k/10^k), im dritten (1/k!) — bildet man eine neue Folge (s₀, s₁, s ₂,...) nach der Vorschrift

$$ {s_{n}}: = {a_{0}} + {a_{1}} + \cdots + {a_{n}}\quad (n = 0,1,2,...) $$

((30.1))

so daß

$$ {s_{0}} = {a_{0}},\quad {s_{1}} = {a_{0}} + {a_{1}},\quad {s_{2}} = {a_{0}} + {a_{1}} + {a_{2}},...{\kern 1pt} ist $$

.

Die mathematische Analysis [ist] gewissermaßen eine einzige Symphonie des Unendlichen.

David Hilbert

Suchen wir unsere Zuflucht bei den Reihen!

Leonhard Euler