Rand- und Eigenwertaufgaben

Zusammenfassung

Bisher hatten wir unser Augenmerk so gut wie ausschließlich auf Anfangswertprobleme gerichtet; unsere theoretische Arbeit jedenfalls war allein ihnen gewidmet gewesen. Hin und wieder jedoch hatten uns physikalische und technische Aufgaben auch Fragen ganz anderer Art aufgedrängt, Fragen, bei denen es darum ging, Lösungen von Differentialgleichungen zu finden, die nicht mehr vorgegebenen Anfangsbedingungen, sondern gewissen Randbedingungen genügen. In Nr. 18 hatten wir z. B. die Temperaturverteilung in einem Stab der Länge L studiert, wenn sein linkes Ende auf der konstanten Temperatur υ ₀ , sein rechtes auf der ebenfalls konstanten Temperatur υ _L gehalten wird. Dabei waren wir auf das Problem gestoßen, Integrale der Differentialgleichung

$$ % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qadaWcaaWdaeaapeGaamiza8aadaahaaWcbeqaa8qacaaIYaaaaOGa % eqy0dOeapaqaa8qacaWGKbGaamiEa8aadaahaaWcbeqaa8qacaaIYa % aaaaaakiabg2da9iaadggapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakmaa % bmaapaqaa8qacqaHrpGscqGHsislcqaHrpGspaWaaSbaaSqaa8qaca % WGbbaapaqabaaak8qacaGLOaGaayzkaaaaaa!4713! \frac{{d^2 \vartheta }} {{dx^2 }} = a^2 \left( {\vartheta - \vartheta _A } \right) $$

zu bestimmen, die den Bedingungen υ(0)=υ ₀, υ (L)= υ _L genügen (s. die Ausführungen nach (18.92)). Die Frage nach der Knicklast einer Säule hatte uns in Nr. 33 vor die Aufgabe gestellt, die Differentialgleichung

$$ % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qaceWG1bGbayaacaGG7aGaey4kaSYaaSaaa8aabaWdbiaadcfaa8aa % baWdbiaadweacaWGjbWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaaaak8 % qacaWGLbWdamaaCaaaleqabaWdbmaalaaapaqaa8qacaWGRbaapaqa % a8qacaWGSbaaaiaadIhaaaGccaWG1bGaeyypa0JaaGimaaaa!43C4! u''; + \frac{P} {{EI_0 }}e^{\frac{k} {l}x} u = 0 $$

unter den Bedingungen u’(0)= 0, u(l)= 0 zu lösen (s. (33.33) und (33.35)). Wir haben also handfeste Gründe, „Randwertaufgaben“ auch theoretisch näherzutreten.

Die Imagination arbeitet in einem schöpferischen Mathematiker nicht weniger stark als in einem schaffenden Dichter... Vielleicht gebührt Archimedes mit größerer Berechtigung als allen großen Männern des Altertums der Platz neben Homer.

Jean Baptiste le Rond d’Alembert

Den Herrn d’Alembert halte ich für einen großen mathematicum in abstractis; aber wenn er einen incursum macht in mathesin applicatam,so höret alle estime bei mir auf... und wäre es oft besser für die realem physicam, wenn keine Mathematik auf der Welt wäre.

Daniel Bernoulli über den Gegner seiner Methode der Eigenschwingungen