Allgemeine Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Differentialgleichung n-ter Ordnung

Zusammenfassung

Das Lotka-Volterrasche Räuber-Beute-Modell ¹⁾ Wir nehmen an, eine Beutepopulation B lebe ausschließlich von einem unerschöpflichen Nahrungsvorrat N Ihr einziger natürlicher Feind sei die Raubpopulation R und diese wiederum lebe ausschließlich von B (man denke — mit Einschränkungen — etwa an Hasen und Füchse). Ohne B würde sich R wegen Nahrungsmangel nach dem natürlichen Abnahmegesetz $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qaceWGsbGbaiaacqGH9aqpcqGHsislcaWGHbWdamaaBaaaleaapeGa % aGymaaWdaeqaaOWdbiaadkfadaqadaWdaeaapeGaamiDaaGaayjkai % aawMcaaaaa!3E6D! \dot R = - a_1 R\left( t \right)$vermindern(α₁> 0). Die Anwesenheit von B ermöglicht jedoch eine Vermehrung von R und zwar mit einer Rate, die von der Häufigkeit der Begegnungen zwischen Raub- und Beutetieren abhängen wird; versuchsweise unterstellen wir deshalb, sie sei proportional zu R (t) B (t), also = β ₁ R (t) B (t) (β,>0). Insgesamt wird man also für die Änderungsrate $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qaceWGsbGbaiaaaaa!36ED! \dot R$ den Ansatz $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qaceWGsbGbaiaacqGH9aqpcqGHsislcaWGHbWdamaaBaaaleaapeGa % aGymaaWdaeqaaOWdbiaadkfacqGHRaWkcqaHYoGypaWaaSbaaSqaa8 % qacaaIXaaapaqabaGcpeGaamOuaiaadkeaaaa!411C! \dot R = - a_1 R + \beta _1 RB$ machen. Analoge Überlegungen führen zu $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qaceWGcbGbaiaacqGH9aqpcaWGHbWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWd % aeqaaOWdbiaadkeacqGHsislcqaHYoGypaWaaSbaaSqaa8qacaaIYa % aapaqabaGcpeGaamOuaiaadkeadaqadaWdaeaapeGaamyya8aadaWg % aaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaak8qacaGGSaGaeqOSdi2damaaBaaale % aapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiabg6da+iaaicdaaiaawIcacaGLPaaa % caGGUaaaaa!49CF! \dot B = a_2 B - \beta _2 RB\left( {a_2 ,\beta _2 > 0} \right).$ Die Wechselwirkung zwischen R und B wird somit beschrieben durch das System der sogenannten Lotka-Volterraschen Gleichungen

$$ % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeqabiqaaa % qaaabaaaaaaaaapeGabmOuayaacaGaeyypa0JaeyOeI0Iaamyya8aa % daWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qacaWGsbGaey4kaSIaeqOSdi % 2damaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbiaadkfacaWGcbaapaqa % a8qaceWGcbGbaiaacqGH9aqpcaWGHbWdamaaBaaaleaapeGaaGOmaa % WdaeqaaOWdbiaadkeacqGHsislcqaHYoGypaWaaSbaaSqaa8qacaaI % YaaapaqabaGcpeGaamOuaiaadkeaaaWaaeWaa8aabaWdbiaadggapa % WaaSbaaSqaa8qacaWGRbaapaqabaGcpeGaaiilaiabek7aI9aadaWg % aaWcbaWdbiaadUgaa8aabeaak8qacaWGWbGaam4BaiaadohacaWGPb % GaamiDaiaadMgacaWG2bGaamyzaiaadUeacaWGVbGaamOBaiaadoha % ciGG0bGaaiyyaiaac6gacaWG0bGaamyzaiaad6gaaiaawIcacaGLPa % aacaGGUaaaaa!64A1! \begin{array}{*{20}c} {\dot R = - a_1 R + \beta _1 RB} \\ {\dot B = a_2 B - \beta _2 RB} \\ \end{array} \left( {a_k ,\beta _k positiveKons\tan ten} \right). $$

(59.1)

The universe is a self-solving system of 6 N simultaneous differential equations, where N is Eddington’s number (= Zahl der Materiepartikel im Universum).

Sir James Jeans

Also daß es einer auB meinen Gedanken ist, ob nicht die gantze Natur und alle himmlische Zierligkeit in der Geometrie symbolisirt sey.

Johannes Kepler