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Räume konstanter Krümmung

  • Wolfgang Kühnel
Part of the vieweg studium Aufbaukurs Mathematik book series (VSAM, volume 89)

Zusammenfassung

Dieses Kapitel befaßt sich mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten, bei denen die Schnittkrümmung K konstant ist oder, äquivalenterweise, bei denen der Krümmungstensor die Gleichung R = KR1 erfüllt mit einer Konstanten K. R1 ist dabei der Krümmungstensor der Einheitssphäre, vgl. 6.8. Selbstverständlich gehören der euklidische Raum sowie die Sphäre selbst zu diesen Räumen. Aber es gibt — außer offenen Teilmengen davon — auch noch andere Beispiele. Die Bestimmung dieser Räume ist bekannt als das Clifford-Kleinsche Raumformenproblem. Auch die Frage nach der Existenz eines echten Pendants zur Sphäre mit einer Schnittkrümmung K = −1 war lange Zeit ein ungelöstes Problem, dessen Lösung schließlich durch den hyperbolischen Raum gegeben wurde. Wir wenden uns diesem jetzt zu und erklären ihn als Hyperfläche im pseudo-euklidischen Raum. In der Dimension 2 war dies schon behandelt worden in Abschnitt 3E. Hier brauchen wir nur die dortigen Ausführungen auf den n-dimensionalen Fall zu übertragen, was zusätzlich durch die Gauß-Gleichung sowie die Sätze in Abschnitt 6B über den Krümmungstensor erleichtert wird.

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Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1999

Authors and Affiliations

  • Wolfgang Kühnel
    • 1
  1. 1.Mathematisches Institut BUNiversität StuttgartStuttgartDeutschland

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