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Riemannsche Mannigfaltigkeiten

  • Wolfgang Kühnel
Part of the vieweg studium Aufbaukurs Mathematik book series (VSAM, volume 89)

Zusammenfassung

In diesem Kapitels wollen wir eine „innere Geometrie“ ohne Benutzung eines umgebenden Raumes n+1 zu erklären, und zwar nicht nur lokal, sondern auch global. Damit werden die Betrachtungen von Kapitel 4 fortgesetzt. Die entscheidenden Hilfsmittel sind einerseits in lokaler Hinsicht eine „erste Fundamentalform“ ohne umgebenden Raum n+1 (analog zur inneren Geometrie in Kapitel 4) und andererseits in globaler Hinsicht der Begriff der „Mannigfaltigkeit“. Dabei geht der lokale Begriff im wesentlichen zurück auf Riemanns berühmten Habilitationsvortrag1, was die heutigen Bezeichnungen Riemannsche Geometrie, Riemannsche Mannigfaltigkeit, Riemannscher Raum erklärt. Für uns ist das an dieser Stelle motiviert einerseits durch die innere Geometrie von Flächen einschließlich des Satzes von Gauß-Bonnet und andererseits durch das natürliche Vorkommen von solchen Räumen, die nicht oder nicht in natürlicher Weise als Hyperfläche in einen n eingebettet werden können, wie z. B. die Poincaré-Halbebene als Modell der nichteuklidischen Geometrie. Die abstrakten Konfigurationsräume in der Mechanik tragen ebenfalls dazu bei, wie auch insbesondere die Allgemeine Relativitätstheorie, wo ein umgebender Raum nicht existiert und vernünftigerweise auch gar nicht angenommen werden kann.

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Literatur

  1. 1.
    B. Riemann, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, neu herausgegeben und erläutert von H. Weyl, Spinger 1921Google Scholar
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Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1999

Authors and Affiliations

  • Wolfgang Kühnel
    • 1
  1. 1.Mathematisches Institut BUNiversität StuttgartStuttgartDeutschland

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