Einleitung: Der euklidische Raum

Zusammenfassung

Der euklidische Raum ε ⁿ ist ein affiner Raum über einem reellen Vektorraum V (ε ⁿ) mit positiv-definitem Skalarprodukt. Den unterliegenden Vektorraum V(ε ⁿ) können wir nach der Festlegung einer orthonormalen Basis mit dem Koordinatenraum ℝⁿ identifizieren. Der Vektorraum wirkt mittels der Translationen auf dem Punktraum ε ⁿ einfach-transitiv. Für zwei Punkte Q und P des euklidischen Raumes ε ⁿ bezeichnen wir mit $\overrightarrow {QP} = P - Q$ denjenigen Vektor, dessen Translation Q auf P abbildet. Sind in diesem Sinne P − Q = (x ₁ − x ₂, y ₁ − y ₂, ..., z ₁ − z ₂) die Koordinaten des Vektors P − Q, so ist der Abstand zwischen den Punkten P und Q vermittels der Formel

$$ d(P,Q): = |\overrightarrow {PQ} | = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2} + ... + {{({z_1} - {z_2})}^2}} $$

definiert. Damit werden die euklidischen Räume zugleich metrische Räume. Eine Abbildung f : ε ⁿ → ε ⁿ nennt man eine Isometrie, falls sie den Abstand zwischen zwei Punkten nicht verändert,

$$ \overrightarrow {QP} = P - Q $$

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