Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit

Zusammenfassung

Die fundamentalen Resultate von Gödel über Unvollständigkeit genügend reichhaltiger formaler Systeme sowie von Tarski über Nichtdefinierbarkeit des Wahrheitsbegriffs und von Church über die Unentscheidbarkeit der Logik und andere Unent-scheidbarkeitsresultate beruhen sämtlich auf gewissen Diagonalargumenten. Eine bekannte Popularisierung des 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatzes ist diese:

• Man betrachte eine formalisierte axiomatische Theorie T, die im Rahmen der T zugrundeliegenden Sprache ℒ über deren Syntax und das Beweisen aus den Axiomen von T zu reden imstande ist. Dies ist häufig auch dann möglich, wenn in T offiziell von anderen Dingen die Rede ist (etwa von Zahlen oder Mengen), nämlich vermittels einer internen Kodierung der Syntax von ℒ, siehe 6.4. Dann gehört zu ℒ — was für einen formalen Begriff von Beweisbarkeit im einzelnen zu begründen ist — auch die Aussage γ: „Ich bin in T unbeweisbar“, wobei sich das Ich genau auf die Aussage 7 selbst bezieht. Nehmen wir weiter an, T soll einen gewissen Gegenstandsbereich 𝒢 korrekt und möglichst vollständig beschreiben und alle Aussagen von T haben in 𝒢 einen adäquaten Sinn. Dann ist γ in 𝒢 wahr, in T aber unbeweisbar.